2011　鳥取大学　前期

(1)　$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

(2)　$x-{\displaystyle \frac{1}{x}}$

(3)　$x^3-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$

(1)　円$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．

(2)　円$C_1$上の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における接線をそれぞれ$l\text{，}m$とするとき，$2$直線$l\text{，}m$の交点の座標を求めよ．

(3)　$x$の$2$次関数のグラフ$C_2$は(2)で求めた交点を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る．このとき$C_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

(1)　右図で北隅の$\mathrm{A}$から南隅の$\mathrm{A}$まで最短の進み方（以後，「$\mathrm{ABRACADABRA}$の読み方」という）は全部で何通りあるか．

(2)　右図の$T$地点を通る$\mathrm{ABRACADABRA}$の読み方は何通りあるか．

(3)　右図の$T$地点と$U$地点の両方を通る$\mathrm{ABRACADABRA}$の読み方は何通りあるか．

(4)　右図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らない$\mathrm{ABRACADABRA}$の読み方は何通りあるか．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }\log xdx$を求めよ．

(2)　原点から曲線$C$に引いた接線$l$の方程式および接点の座標を求めよ．

(3)　曲線$C$と(2)で求めた接線$l$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

(4)　曲線$C$と(2)で求めた接線$l$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

(1)　$V$を$a\text{，}v\text{，}t$の式で表せ．また変化率${\displaystyle \frac{dV}{dt}}$が最大になるのは，沈め始めてから何秒後か．

(2)　容器$Q$は一辺の長さが$b$の正四面体から一面を取り除いた形をしており，開口した面は水平に保たれている．球$B$は完全に水面下に入った瞬間，水面と容器$Q$の$3$つの面に接するという．$b$を$a$で表せ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}\text{，}F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　$F\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)$の値を求めよ．

(3)　実数$x\text{，}y$が$\left|x\right|<1\text{，}\left|y\right|<1$を満たすとき

$F\left({\displaystyle \frac{x+y}{1-xy}}\right)=F(x)+F(y)$

が成り立つことを示せ．

(4)　$F(2-\sqrt{3})$の値を求めよ．