2011　神戸大学　後期

【１】　$a$を実数とし，$f(x)=x^2-2x+2\text{，}g(x)=-x^2+ax+a$とする．以下の問に答えよ．

(1)　すべての実数$s\text{，}t$に対して$f(s)\geqq g(t)$が成り立つような，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$をみたすすべての$x$に対して$f(x)\geqq g(x)$が成り立つような，$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{O}‐\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|$のとき，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面と直線$\mathrm{OG}$は垂直に交わることを示せ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面と直線$\mathrm{OG}$が垂直に交わるとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|$であることを示せ．

【３】　以下の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=x^3-3x^2-3x-1$の増減を調べよ．また，$x\geqq 0$における関数$f(x)$の最小値を求めよ．

(2)　$x\geqq 4$をみたすすべての実数$x$に対して，$x^3>3x^2+3x+1$が成り立つことを示せ．

(3)　$m\geqq 10$をみたすすべての自然数$m$に対して，$2^m>m^3$が成り立つことを数学的帰納法で示せ．ただし，(2)の結果を用いてよい．

【１】　関数$f(x)=\log (x^2+4)-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}$について，以下の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　(1)で求めた関数$f(x)$の最大値を$M$とする．曲線$y=f(x)$と直線$y=M$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$a$を$0$でない実数とする．自然数$n$に対して，

$I_n={\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}{e}^{ax}\sin xdx\text{，}{S}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}|I_k|$

とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$I_n$を求めよ．

(2)　$S_n$を求めよ．

(3)　$n\to \infty$のとき$S_n$が収束するような$a$の値の範囲を求めよ．また，$a$がこの範囲の値をとるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を互いに異なる$0$でない実数とし，$xy$平面上の点${\mathrm{P}}_0$の座標を$(a,b)$とする．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$

の表す一次変換が点${\mathrm{P}}_0$を点${\mathrm{P}}_1$に，点${\mathrm{P}}_1$を点${\mathrm{P}}_2$に移すものとし，一般に点${\mathrm{P}}_{n-1}$を点${\mathrm{P}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$に移すものとする．以下の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n}$を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots$はすべて同一直線上にあることを示せ．また，この直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた直線$l$と$x$軸が交わる点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$l$と$y$軸が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，${\mathrm{P}}_n=\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{P}}_m=\mathrm{R}$となる$0$以上の整数$n\text{，}m$の組は存在しないことを示せ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}t$を実数とし，

$p(x)=x^2+x+t$

$f(x)=ax+b$

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}uf(u)du$

とする．$x$についての整式として$g(x)$を$p(x)$で割った余りを$h(x)$と定める．以下の問に答えよ．

(1)　$h(x)=cx+d$と表すとき，等式

$\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

をみたす$2$次の正方行列$A$を，$t$を用いて表せ．

(2)　行列$A-E$が逆行列をもたないような$t$の値を求めよ．ただし，$E$を$2$次の単位行列とする．

【５】　$p\leqq q$となる実数$p\text{，}q$に対して，$p\leqq x\leqq q$をみたす実数$x$全体の集合を$[p,q]$で表す．このとき，$x\in [p,q]$と$p\leqq x\leqq q$は同値である．$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とする．以下の問に答えよ．

(1)　$x\in [a,b]$かつ$y\in [c,d]$ならば，

$x+y\in [a+c,b+d]$

が成り立つことを示せ．

(2)　$x\in [a,b]$かつ$y\in [c,d]$ならば，

$x-y\in [a-d,b-c]$

が成り立つことを示せ．

(3)　実数$p\text{，}q$に対して，

$\begin{array}{ccc}\min (p,q)& =& \{\begin{array}{cc}p& \text{（}p\leqq q\text{のとき）}\\ q& \text{（}p>q\text{のとき）}\end{array}\\ \max (p,q)& =& \{\begin{array}{cc}p& \text{（}p\geqq q\text{のとき）}\\ q& \text{（}p<q\text{のとき）}\end{array}\end{array}$

と定める．$a\geqq 0$とするとき，$x\in [a,b]$かつ$y\in [c,d]$ならば，

$xy\in [\min (ac,bc),\max (ad,bd)]$

が成り立つことを示せ．