2011　神戸大学　前期

$x^2+y^2=x+y\cdots \text{①}$

を考える．$t=x+y$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$\text{①}$の等式が表す$xy$平面上の図形を図示せよ．

(2)　$x$と$y$が$\text{①}$の等式をみたすとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$x$と$y$が$\text{①}$の等式をみたすとする．

$F=x^3+y^3-x^{2}y-x{y}^2$

を$t$を用いた式で表せ．また，$F$のとりうる値の最大値と最小値を求めよ．

(1)　線分$\mathrm{OC}$の長さを$a$を用いた式で表せ．また，線分$\mathrm{OB}$と$\mathrm{OC}$の長さは等しいことを示せ．

(2)　$S$を$a$と$\theta$を用いた式で表せ．

(3)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$とし，$20\leqq S\leqq 40$とするとき，$a$のとりうる値の最大値を求めよ．

[ルール]袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出していく．ただし，一度取り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出したカードの数字の合計がマジックナンバーになったとき，その時点で負けとし，それ以降はカードを取り出さない．途中で負けとなることなく，すべてのカードを取り出せたとき，勝ちとする．

以下の問に答えよ．

(1)　$2$枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．

(2)　$3$枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．

(3)　このゲームで勝つ確率を求めよ．

(1)　実数$\alpha \text{，}\beta$について，等式

$(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )=\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )$

が成り立つことを示せ．

(2)　自然数$n$に対して，

$z={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}})$

とおくとき，等式

$z(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}})=z$

が成り立つことを示せ．

(3)　$2$以上の自然数$n$について，等式

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sin {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}=0$

が成り立つことを示せ．

(1)　$t$を正の実数とするとき，$|x|+|y|=t$の表す$xy$平面上の図形を図示せよ．

(2)　$a$を$a\geqq 0$をみたす実数とする．$x\text{，}y$が連立不等式

$\{\begin{array}{l}ax+(2-a)y\geqq 2\\ y\geqq 0\end{array}$

をみたすとき，$|x|+|y|$のとりうる値の最小値$m$を，$a$を用いた式で表せ．

(3)　$a$が$a\geqq 0$の範囲を動くとき，(2)で求めた$m$の最大値を求めよ．

$S_n={\displaystyle \sum _{k=n}^{n^3-1}}{\displaystyle \frac{1}{k\log k}}$

とおく．以下の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_n^{n^3}}{\displaystyle \frac{dx}{x\log x}}$を求めよ．

(2)　$k$を$2$以上の自然数とするとき，

${\displaystyle \frac{1}{(k+1)\log (k+1)}}<{\displaystyle {\int }_k^{k+1}}{\displaystyle \frac{dx}{x\log x}}<{\displaystyle \frac{1}{k\log k}}$

を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$の値を求めよ．

(1)　整式$x^3+3x^2-14x+6$を整式$x^2-2x$で割ったときの商と余りを求めよ．

(2)　$X$と$Y$の値を求めよ．

(3)　$a$の値を求めよ．ただし，素数の平方根は無理数であることを用いてよい．

(1)　$x\geqq 1$において，$x>2\log x$が成り立つことを示せ．ただし，$e$を自然対数の底とするとき，$2.7<e<2.8$であることを用いてよい．

(2)　自然数$n$に対して，

${(2n\log n)}^n<e^{2n\log n}$

が成り立つことを示せ．