2011　大阪教育大学　後期

【１】　数列$\{a_{}\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_{n+2}={\displaystyle \frac{{a_{n+1}}^2+{(-1)}^n}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定め，$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3\text{，}{b}_4\text{，}{b}_5$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，ベクトル$(a_n,b_n)$の成分が共に正の整数であることを示せ．

【２】　$m\text{，}n\text{，}k$は正の整数とする．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}m& -1\\ 1& m\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& -n\\ n& 1\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ 1& 5\end{array}\right)$

に対して，等式

$2kAB=C^4$

が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$C^4$を求めよ．

(2)　$m-n$と$mn$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(3)　$m\text{，}n\text{，}k$の値を求めよ．

【３】　曲線$y=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線と直交し，点$\mathrm{P}$を通る直線を$l$とする．直線$l$上の点$\mathrm{Q}(x,y)$を

$\{\begin{array}{!}y>1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\\ \mathrm{PQ}=1\end{array}$

となるようにとり，直線$l$と$x$軸のなす角$\theta$を，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすようにとる．このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$が$x$軸上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡と，$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．$f(x)={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$とし，$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して，曲線$y=f(x)$上に点${\mathrm{P}}_k({\displaystyle \frac{k}{n}},f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right))$をとる．線分${\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_{k+1}$の長さを$l_k\text{（}0\leqq k\leqq n-1\text{）}$とおき，$L_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{l}_k$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　平均値の定理を用いて，

$l_k={\displaystyle \frac{1}{n}}f(c_k)\text{，}{\displaystyle \frac{n}{k}}<c_k<{\displaystyle \frac{k+1}{n}}$

を満たす実数$c_n$が存在することを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{n}}f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)<l_k<{\displaystyle \frac{1}{n}}f\left({\displaystyle \frac{k+1}{n}}\right)$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n$を求めよ．