2011　京都工芸繊維大学　後期

【１】　$p\text{，}q$は$p>0\text{，}q>0$を満たす実数とする．$xy$平面上の$2$点

$\mathrm{A}(p-q,{(p-q)}^2)\text{，}\mathrm{B}(p+q,{(p+q)}^2)$

を考える．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{C}(c,0)\text{，}\mathrm{D}(0,d)$とする．

(1)　$c\text{，}d$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{AB}=\mathrm{CM}$が成り立つための$p\text{，}q$についての必要十分条件を求めよ．また，その条件を満たす点$(p,q)$全体の集合を$pq$平面上に図示せよ．

(3)　$\mathrm{AB}=\mathrm{CM}$が成り立つとき，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　$2$以上の自然数$n$に対して，関数$f_n(x)={(\sin x)}^n$を考える．

(1)　曲線$y=f_n(x)(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$には変曲点がただ一つ存在することを示せ．また，その変曲点の$y$座標$y_n$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$y_n$について極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．ただし，$\underset{h\to 0}{\lim }{(1+h)}^{\frac{1}{h}}=e$であることを用いてよい．

【３】　$A$は$0<A<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とする．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_A^{\frac{\pi }{2}}}(\cos x)\log (\sin x)dx$を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^A}(\cos x)\log (\cos x)dx$を求めよ．

【４】　$xy$平面上の点$(x,y)$で$x$と$y$がともに整数であるものを格子点とよぶ．$0$以上の整数$k$に対して，$|x|+|y|=k$を満たす格子点$(x,y)$の個数を$a_k$とする．

(1)　$a_k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(2)　$n$を$0$以上の整数とする．$|x|+|y|\leqq n$を満たす格子点$(x,y)$の全体を

$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}(x_l,y_l)$

とするとき，$l$個の数

${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{|x_1|+|y_1|}\text{，}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{|x_2|+|y_2|}\text{，}\cdots \text{，}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{|x_l|+|y_l|}$

の総和$S_n$を求めよ．