2011　京都工芸繊維大学　前期

【１】　$xyz$空間に$6$点

$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(-1,-1,0)\text{，}\mathrm{D}(1,-1,0)\text{，}\mathrm{P}(\alpha ,0,\beta )\text{，}\mathrm{Q}(-\alpha ,0,\beta )$

が与えられている．ただし，$\alpha \text{，}\beta$は正の実数とする．

$\mathrm{PB}=\mathrm{PC}=\mathrm{BC}$かつ$\mathrm{PA}=\mathrm{PD}=\mathrm{PQ}$

であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_0(\alpha ,0,0)$を考える．$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AD}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{K}$とする．このとき，$2$つの三角形$▵\mathrm{H}{\mathrm{P}}_0\mathrm{P}$と$▵\mathrm{P}{\mathrm{P}}_0\mathrm{K}$が相似であることを示せ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が

$x=(1+t^2)\cos t\text{，}y=(1+t^2)\sin t$

で与えられている．時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度を$\overrightarrow{v}$とし，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta$とする．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$である．

(1)　時刻$t$において，ベクトル$\overrightarrow{a}=(\cos t,\sin t)\text{，}\overrightarrow{b}=(-\sin t,\cos t)$と実数$c\text{，}d$が$\overrightarrow{v}=c\overrightarrow{a}+d\overrightarrow{b}$を満たすとき，$c\text{，}d$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t>0$のとき，$\tan \theta$を$t$を用いて表せ．

(3)　$t>0$における$\theta$の最小値を求めよ．

【３】(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\log xdx$および${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}{(\log x)}^{2}dx$を求めよ．

(2)　実数$a$に対して，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}(a+\log x)\text{（}1\leqq x\leqq e\text{）}$と$x$軸および$2$直線$x=1\text{，}x=e$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$を用いて表せ．また，$a$が実数全体を動くとき，$V$を最小とする$a$の値を求めよ．

【４】　有理数$r$について，次の$2$つの条件を考える．

(ⅰ)　$1\text{，}3\text{，}7$のいずれかの数$p$と自然数$m$を用いて$r={\displaystyle \frac{p}{2^m}}$と表される．

(ⅱ)　$r<1$

条件(ⅰ)，(ⅱ)をともに満たすような有理数$r$の全体を大きい方から順に並べてできる数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$を考える．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$N$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$3N$項までの和$T_N$を$N$を用いて表せ．さらに，極限$\underset{N\to \infty }{\lim }{T}_N$を求めよ．