2011　京都教育大学　前期

【１】　次の計算をせよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　${(\sqrt{3}+i)}^3$

(2)　${(\sqrt{3}+i)}^{12}$

【２】　赤玉が$5$個，白玉が$4$個，青玉が$3$個入っている袋がある．この袋から玉を$3$個同時に取り出すとき，次の確率を求めよ．

(1)　$3$個とも同じ色である．

(2)　$3$個の色がすべて異なる．

【３】　立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$の各辺の中点を，図１のように$\mathrm{I}\text{，}\mathrm{J}\text{，}\cdots \text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{LM}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{LK}}$を使って$\overrightarrow{\mathrm{LQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{LR}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{LO}}$をそれぞれ表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{LK}}$のなす角を求めよ．

(3)　点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{L}\text{，}\mathrm{K}$を通る平面による立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$の切り口は，正六角形であることを示せ．

【４】　$x\text{，}y$は実数とする．$x^2+y^2-1<0$ならば$x^2-2x+y^2<3$であることを示せ．

【５A】　放物線$C\text{：}y=-x^2+1$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,-a^2+1)\text{，}\mathrm{B}(b,-b^2+1)$におけるそれぞれの接線$l\text{，}m$が直交するとする．次の問に答えよ．

(1)　任意の実数$r$に対して

$\alpha +\beta =r\text{，}\alpha \beta =-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

をみたす実数$\alpha \text{，}\beta$が存在することを示せ．

(2)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が上の条件をみたしながら動くとき，直線$\mathrm{AB}$が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の取り方によらず常に通る点の座標を求めよ．

(3)　$l$と$m$の交点の軌跡を求めよ．

【５B】　$-1\leqq a\leqq 1$として，次の問に答えよ．

(1)　直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1\text{（}x\geqq 0\text{）}$が，ただ$1$つの点を共有することを示せ．

(2)　方程式$\sin x=a$は閉区間$[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$の範囲でただ$1$つの実数解をもつことを示せ．

(3)　$-1\leqq x\leqq 1$とする．次の条件

$x=\sin y\text{，}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

をみたす$y$を$g(x)$とおく．曲線$y=g(x)\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$の概形をかけ．

(4)　曲線$y=g(x)$と$2$直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$g(x)$は(3)で定義されたものとする．