2011　滋賀医科大学　前期

【１】　座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(x,{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{（}x>0\text{）}$を考える．ベクトル

$t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

の長さを最小にする実数$t$の値を$t_0$とし，点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t_0\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t_0)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定まる点とする．

(1)　$t_0$を$x$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{AB}$を$2$等分するとき，$x$の値を求めよ．

(3)　$x$を動かすとき，$\mathrm{▵OAH}$の面積が最大になる$x$の値を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とし，実数$x$についての関数$f(x)=(x^3+ax)e^{-\frac{x^2}{a}}$を考える．ただし任意の自然数$n$に対して$\underset{t\to \infty }{\lim }{t}^n{e}^{-t}=0$であることを使ってよい．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を，極値および変曲点を調べて描け．

(2)　$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$を求めよ．

(3)　$f(x)=g(x)$となる実数$x$はいくつあるか．

【３】　文字$x\text{，}y\text{，}z$の任意の整式$A$に対して，$x\text{，}y\text{，}z$をそれぞれ$\sin \theta \text{，}\cos \theta \text{，}\tan \theta$に置き換えて得られる$\theta$の関数を$\tilde{A}(\theta )$で表す．例えば，

$\begin{array}{lll}P=x^5+z^4-xyz& \text{ならば}& \tilde{P}(\theta )={\sin }^5\theta +{\tan }^4\theta -\sin \theta \cos \theta \tan \theta \text{，}\\ P=x^2+y^2\text{，}Q=1& \text{ならば}& \tilde{P}(\theta )={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1=\tilde{Q}(\theta )\end{array}$

である．ただし$\theta$の関数の定義域は$0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{，}\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$とする．

(1)　$P$を$x\text{，}y\text{，}z$の整式とする．$\tilde{P}(\theta )=\tilde{Q}(\theta )$となる$y\text{，}z$の整式$Q$が存在することを示せ．

(2)　$P$を$x\text{，}y\text{，}z$の整式とする．$\tilde{P}(0)=\tilde{P}(\pi )$ならば，$\tilde{P}(\theta )=\tilde{Q}(\theta )$となる$x\text{，}z$の整式$Q$が存在することを示せ．

(3)　$P$を$x\text{，}y\text{，}z$の整式とする．$\theta \to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，および$\theta \to {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$のとき，$\tilde{P}(\theta )$がそれぞれ収束するならば，$\tilde{P}(\theta )=\tilde{Q}(\theta )$となる$x\text{，}y$の整式$Q$が存在することを示せ．

補足：収束とは，一定の実数に限りなく近くことである．

【４】　円卓の周りに並べられた$n$席の座席に$m$人の人が座るとき，どの二人も隣合わない確率を$P(n,m)$とする．ただし$2\leqq m\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}$とし，どの空席も同じ確率で選ぶものとする．

(1)　$P(n,2)$を$n$を用いて表せ．

(2)　$P(n,m)$を$n\text{，}m$を用いて表せ．

(3)　$\underset{m\to \infty }{\lim }P(m^2,m)$を求めよ．