2011　三重大学　後期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を実数の定数として，$z=x^2+2\alpha x+y^2+2\beta y+\gamma$とおく．$(x,y)$が座標平面上を動くとき，$z$が最小になるような$(x,y)$を求めよ．またそのときの最小値が$-{\alpha }^2-{\beta }^2+\gamma$であることを示せ．

(2)　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標がそれぞれ$(0,0)\text{，}(a_1,a_2)\text{，}(b_1,b_2)$であるとする．このとき平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$で${\mathrm{OP}}^2+{\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2$が最小になるものを求めよ．

(3)　(2)の$\mathrm{P}$に対して${\mathrm{OP}}^2+{\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2$を$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{AB}$で表せ．

【２】　座標平面において$\mathrm{A}$君が原点から，$\mathrm{B}$君が点$(m,n)$から出発し，両者がそれぞれの硬貨を同時に投げて移動してゆく．$\mathrm{A}$君は，表が出れば$x$座標が$1$増えるように水平に移動し，裏が出れば$y$座標が$1$増えるように垂直に移動する．一方$\mathrm{B}$君は，表が出れば$x$座標が$1$減るように水平に移動し，裏が出れば$y$座標が$1$減るように垂直に移動する．ただし$m\text{，}n$は$0$以上の整数で$m+n$は偶数であるとする．

(1)　両者が硬貨をそれぞれ${\displaystyle \frac{m+n}{2}}$回投げて移動した後に共に点$(i,j)$にいる確率を求めよ．ただし$i\text{，}j$は整数であり，$0\leqq i\leqq m\text{，}0\leqq j\leqq n\text{，}i+j={\displaystyle \frac{m+n}{2}}$を満たしているとする．

(2)　両者が硬貨をそれぞれ${\displaystyle \frac{m+n}{2}}$回投げて移動した後に同じ点にいる確率を$P(m,n)$とする．$0$以上の整数$k$に対し$P(0,2k)\text{，}P(1,2k+1)\text{，}P(2,2k)$を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=\log x$のグラフを用いて，不等式

${\displaystyle {\int }_1^n}\log xdx\leqq \log 2+\log 3+\cdots +\log n\leqq {\displaystyle {\int }_2^{n+1}}\log xdx$

が成り立つことを示せ．

(2)　部分積分を用いて不定積分${\displaystyle \int }\log xdx$を求めよ．

(3)　次の不等式が成立することを示せ．

$n^n{e}^{-n+1}\leqq n!\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}{(n+1)}^{n+1}{e}^{-n+1}$

【４】　$a$を実数の定数として$2$次正方行列$A(x)$を

$A(x)=\left(\begin{array}{cc}x{e}^x& {(2x+1)}^2+2a^2\\ -1& e^{x+1}\end{array}\right)$

と定義する．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$A(0)$の逆行列を求めよ．

(2)　$f(x)=x{e}^{2x+1}+{(2x+1)}^2+2a^2$とおくとき$f(x)$の増減表を書け．

(3)　$A(x)$がすべての実数$x$に対して逆行列を持つような$a$の範囲を求めよ．

【１】　次の各設問に答えよ．

(1)　$0\mathrm{°}<x<90\mathrm{°}$で$\tan 2x=-{\displaystyle \frac{5}{12}}$のとき，$\sin x\text{，}\cos x$を求めよ．

【１】　次の各設問に答えよ．

(2)　不等式$4^{x-1}+2^{x+1}<5$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

【１】　次の各設問に答えよ．

(3)　$0<a<1$のとき，${\log }_{10}a$と${\log }_{a}10$の大小関係を求めよ．

【２】　$3$辺が，$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CA}=7$の三角形$\mathrm{ABC}$を考える．また，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

となる点$\mathrm{P}$を定める．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\alpha }\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\gamma }$として，${\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2$を$\overrightarrow{\alpha }\text{，}$と$\overrightarrow{\gamma }$を用いて表せ．

(2)　このとき，内積$\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\gamma }$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{DP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直ということを用いて$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=k\overrightarrow{\alpha }$を満たす実数$k$を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{PD}$の長さを求めよ．

【３】　直方体において，一つの頂点に集まる$3$辺の長さを短いものから順に$a\text{，}b\text{，}c\text{（}a\leqq b\leqq c\text{）}$とする．また$a\text{，}b\text{，}c$の和が$9\text{，}$全表面積が$48$であり，その時の体積を$V$で表す．

(1)　体積$V$を用いて，$3$辺の長さを解とする$3$次方程式を求めよ．

(2)　体積$V$の最大値とそのときの$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c$はそれぞれ，どのような範囲をとり得るかを示せ．