2011　愛知教育大学　後期

【１】　座標空間内に$xy$平面上の$5$点${\mathrm{A}}_k(\cos {\displaystyle \frac{2}{5}}k\pi ,\sin {\displaystyle \frac{2}{5}}k\pi ,0)\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$と$z$軸上の点$\mathrm{B}(0,0,b)$があり，${\mathrm{BA}}_0={\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1$が成り立っているとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，解答は分母の有理化を行い，分母を整数にして表せ．また，$\cos {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}$であることを用いて計算せよ．

問１　$b^2$の値を定めよ．

問２　線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$の中点$\mathrm{M}$の座標を求めよ．

問３　$\theta ={\mathrm{\angle A}}_0\mathrm{BM}$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^2+2e^{-x}-e^{-2x}-1$が$x>0$において$f(x)>0$をみたすことを証明せよ．

【３】　曲線$y=x^3-3x^2-9x$と曲線$y=k{x}^2$を考える．ここで，$k$は実数の定数とする．

問１　この$2$曲線は$3$つの異なる共有点をもつことを示せ．

問２　$3$つの共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{（}\alpha <\beta <\gamma \text{）}$とするとき，$\gamma$の値を求め，${\alpha }^2+{\beta }^2$を$k$を用いて表せ．

問３　曲線$y=x^3-3x^2-9x$と曲線$y=k{x}^2$によって囲まれてできる$2$つの図形のそれぞれの面積を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

問４　問３における$2$つの図形の面積が等しいとき，$k$の値を求めよ．

【４】　座標平面上で媒介変数表示された曲線$\{\begin{array}{l}x=2\sin t-\sin 2t\\ y=2\cos t-\cos 2t-1\end{array}$について，以下の問いに答えよ．

問１　曲線上の点$(x,y)$について，$\sqrt{x^2+y^2}$を$\cos t$を用いて表せ．

問２　曲線を極方程式で表せ．

【５】　実数$\alpha =\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$について考える．

問１　${\alpha }^3$を$\alpha$の$1$次式で表せ．

問２　$\alpha$は整数であることを示せ．