2011　豊橋技術科学大学　前期

【１】　三角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0\mathrm{C}$は辺${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0$の長さが$a\text{，}{\mathrm{\angle A}}_0=60\mathrm{°}\text{，}{\mathrm{\angle B}}_0=90\mathrm{°}$の直角三角形であり，三角形${{\mathrm{A}}^{\prime }}_0{{\mathrm{B}}^{\prime }}_0{\mathrm{C}}^{\prime }$は辺${{\mathrm{A}}^{\prime }}_0{{\mathrm{B}}^{\prime }}_0$の長さが$a\text{，}{{\mathrm{\angle A}}^{\prime }}_0=45\mathrm{°}\text{，}{{\mathrm{\angle B}}^{\prime }}_0=90\mathrm{°}$の直角三角形である．右図に示すように三角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0\mathrm{C}$の$3$つの辺上にそれぞれ点${\mathrm{D}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_1$をとり，正方形${\mathrm{B}}_0{\mathrm{D}}_1{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$を作る．次に，三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\mathrm{C}$の$3$つの辺上に点${\mathrm{D}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_2$をとり，正方形${\mathrm{B}}_1{\mathrm{D}}_2{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2$を作る．これを繰り返し，正方形${\mathrm{B}}_{j-1}{\mathrm{D}}_j{\mathrm{A}}_j{\mathrm{B}}_j$を作る．その正方形の面積を$S_j$とおく．ただし，$j=1\text{，}2\text{，}\cdots$である．同様な操作で，三角形${{\mathrm{A}}^{\prime }}_0{{\mathrm{B}}^{\prime }}_0{\mathrm{C}}^{\prime }$にも正方形${{\mathrm{B}}^{\prime }}_{j-1}{{\mathrm{D}}^{\prime }}_j{{\mathrm{A}}^{\prime }}_j{{\mathrm{B}}^{\prime }}_j$を作り，その正方形の面積を${S^{\prime }}_j$とおく．これらの図形について以下の問いに答えよ．

(1)　$S_1$を$a$を用いて式で示せ．

(2)　$S_j$を$a$と$j$を用いた式で示せ．

(3)　三角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0\mathrm{C}$内に正方形を描くことを無限に繰り返すとき，正方形の面積の総和$S_{\mathrm{T}}$が三角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0\mathrm{C}$の面積$S_0$に占める割合を求めよ．

(4)　$c_j={\displaystyle \frac{S_{j+2}}{{S^{\prime }}_j}}$で定義される一般項$c_j$を持つ無限級数は，収束するか発散するかを，根拠を式で示した上で答えよ．

【２】　空間に$2$点$\mathrm{A}(0,0,{\displaystyle \frac{3}{2}})\text{，}\mathrm{B}(0,0,2)$と，$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}(s,t,0)$がある．また，線分$\mathrm{BP}$を$u:(1-u)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$s$と$t$は実数であり，$0<u<1$である．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を$u\text{，}s\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$を満たす$u$を$s$と$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{Q}$が$yz$平面に平行な平面$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$上にあり，かつ$\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$が成り立つとき，点$\mathrm{P}$は必ずある円$C$の上にある．円$C$の中心の座標と半径を求めよ．

【３】　関数$f(x)=mx\cos (mx)-\sin (mx)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$m$は正の整数とする．

(1)　$f(x)$が極値をとる最も小さい正の実数$x$を，$m$を用いて表せ．

(2)　$m=2$のとき，区間$0\leqq x\leqq 2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．

(3)　$m=3$のとき，曲線$y=f(x)$上の点$({\displaystyle \frac{\pi }{2}},f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\left)\right)$における曲線の接線が$y$軸と交わる点の座標$(x_0,y_0)$を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)dx=0$が成り立つために$m$が満たすべき条件を求めよ．

【４】　別々に製造される部品$\mathrm{A}$と部品$\mathrm{B}$を$1$個ずつ組み合わせて製造する製品がある．製品の不良は各部品の不良のみに由来し，部品$\mathrm{A}$に不良が生じる確率は${\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}$部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．製品を製造した後，検査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする．以下の問いに答えよ．

(1)　合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．

(2)　製品を$5$個製造した後，検査を行ったとき，$4$個以上が合格品である確率を求めよ．

(3)　この製品$1$個の販売価格は$\mathrm{1,200}$円である．また，部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり，部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である．製品$1$個あたりの利益は，以下の式で計算される．

$\text{（製品}1\text{個あたりの利益）}=\text{（販売価格）}-\text{（製品}1\text{個あたりの費用）}$

　製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき，製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は販売しないため，上式の（販売価格）項が$0$となり負の利益（損失）が生じることを考慮せよ．

(4)　新たに工作機械を導入することで，製品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を${\displaystyle \frac{1}{8}}$にすることができる．しかし，この工作機械の導入費用として$\mathrm{500,000}$円が必要であり，これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する．　

　$\mathrm{10,000}$個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ．ただし，工作機械の費用は$10.000$個の製品の製造でまかなうものとする．また，販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする．