2011　岐阜大学　前期

【１】　右の図のように，$xy$平面上に，$x$軸に平行な道，$y$軸に平行な道，直線$y=-x$に平行な道があるものとする．これらの道を通って，原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}(4,4)$まで行くとき，以下の各場合に道順の総数を求めよ．

(1)　最短経路で行く場合．

(2)　点$\mathrm{B}(2,2.5)$を通らずに，最短経路で行く場合．

(3)　点$\mathrm{C}(-1,2)$を通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．

(4)　道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．

(5)　$0\leqq x\leqq 4\text{，}0\leqq y\leqq 4$の部分だけを通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．

【２】　連立不等式$y\geqq |3x-2|\text{，}x-4y+8\geqq 0$の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+2x+y^2$の最小値と，それを与える点$(x,y)$を求めよ．

【３】　平面上に点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$S$と$S$に内接する正三角形$\mathrm{ABC}$がある．以下の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　平面上の任意の点$\mathrm{P}$に対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．

${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2\geqq 3$

また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．

(4)　円$S$の周上の任意の点$\mathrm{Q}$に対して，

${(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})}^2+{(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})}^2+{(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}$

となることを示せ．

(5)　円$S$の周上の任意の点$\mathrm{Q}$に対して，

${\mathrm{AQ}}^4+{\mathrm{BQ}}^4+{\mathrm{CQ}}^4$

の値を求めよ．

【４】　空間内の四面体$\mathrm{OABC}$について，$\mathrm{\angle OAC}=\mathrm{\angle OAB}=90\mathrm{°}\text{，}\mathrm{\angle BOC}=\alpha \text{，}\mathrm{\angle COA}=\beta \text{，}\mathrm{\angle AOB}=\gamma \text{，}\mathrm{OA}=1$とする．ただし，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$はすべて鋭角で，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}\cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\text{，}\cos \gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$である．三角形$\mathrm{ABC}$の外接円を$S$とし，その中心を$\mathrm{P}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　$\theta =\mathrm{\angle BAC}$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

(4)　円$S$の周上に点$\mathrm{D}$をとり，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{DB}$の長さをそれぞれ$\mathrm{AD}=x\text{，}\mathrm{DB}=y$とする．$x+y$の最大値とそれを与える$x\text{，}y$を求めよ．

【５】　放物線$y=x^2+4x$を$C$とする．$C$上の$x$座標が$p$である点における接線を$l$とする．ただし，$p$は正の定数とする．以下の問に答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接線$l$と$y$軸との交点を通る$C$の接線を$m$とする．ただし，$m$と$l$は異なるとする．$m$の方程式を求めよ．

(3)　放物線$C$と接線$l$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S$とし，放物線$C$と接線$m$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を$T$とする．${\displaystyle \frac{T}{S}}$の値は$p$によらず一定となることを示せ．

【４】　$k\text{，}n$は自然数で$n\geqq 3$とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$S_1$とする．右の図のように，半径$r_1$の$n$個の円は隣り合う他の$2$つの円と外接し，かつ$S_1$に内接している．さらに，点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_2$は，半径$r_1$のすべての円に外接している．同様に，$k\geqq 2$に対して，半径$r_k$の$n$個の円は隣り合う他の$2$つの円と外接し，かつ円$S_k$に内接している．さらに，点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_{k+1}$は，半径$r_k$のすべての円に外接している．$S_2$の半径を$s_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$r_1$と$s_2$を$n$を用いて表せ．

(2)　半径$r_k$の$1$つの円の面積を$T_k(n)$とする．$T_k(n)$を$k$と$n$を用いて表せ．

(3)　$U(n)=n{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{T}_k(n)$とする．$U(n)$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }U(n)$を求めよ．

【５】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数の定数とする．座標平面上の点$(2,1)$を点$(5,2)$に移す$1$次変換を表す行列を

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

とする．以下の問に答えよ．

(1)　$A$が逆行列をもつための必要十分条件を$a$と$c$を用いて表せ．

(2)　次の式を満たす$A$を求めよ．

$A^2=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{25}{4}}& 0\\ {\displaystyle \frac{5}{2}}& 0\end{array}\right)$

(3)　$n$を自然数とする．(2)で求めた$A$について，

$-{\displaystyle \frac{2}{5}}A+{(-{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2{A}^2+{(-{\displaystyle \frac{2}{5}})}^3{A}^3+\cdots +{(-{\displaystyle \frac{2}{5}})}^n{A}^n$

を求めよ．