2011　信州大学　後期　繊維学部

【１】　次の(1)〜(3)の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=x^3-8x^2+15x$の$y\geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の(1)〜(3)の問いに答えよ．

(2)　$y=x^{\sin x}\text{（}x>0\text{）}$を微分せよ．

【１】　次の(1)〜(3)の問いに答えよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{\sin }^{4}xdx$を求めよ．

【２】　$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{({\log }_{2}x)}^3-{\displaystyle \frac{9}{4}}{({\log }_{2}x)}^2+{\log }_2(16x^2)$の極大値，極小値を求めよ．

【３】　次の(1)〜(3)の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{x{(x+1)}^2}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x+1}}+{\displaystyle \frac{c}{{(x+1)}^2}}$とするとき，定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{x{(x+1)}^2}}$を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{x{(x+5)}^2}}dx$を求めよ．

【４】　$2$つの曲線$y=e^x$と$y=a\sqrt{x}$（$a$は定数）が互いに接するとき，次の(1)〜(3)の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　接点の座標を求めよ．

(3)　$2$曲線と$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．