2011　信州大学　前期　工学部

【１】　

(1)　$4$人でじゃんけんを$2$回するとき，$2$回ともあいこになる確率を求めよ．

【１】　

(2)　次の関係式

$a_1=-1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n(1-a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列$\{a_n\}$は，$1-2a_{n+1}={(1-2a_n)}^2$を満たすことを示し，一般項$a_n$を求めよ．

【１】　

(3)　$\overrightarrow{0}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$について，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\left|\overrightarrow{b}\right|$および$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$が成り立つとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$を求めよ．

【２】　曲線$y=a{x}^3$と曲線$y=5\log x$が接しているとする．ただし，$a$は正の定数で，対数は自然対数である．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$2$つの曲線および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　$f(x)=x^3-3x^2+x$とし，方程式$y=f(x)$が定める曲線を$K$とする．

(1)　直線$y=2x-3$と曲線$K$の$3$つの交点の座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた$3$つの交点を$\mathrm{A}(a,f(a))\text{，}\mathrm{B}(b,f(b))\text{，}\mathrm{C}(c,f(c))\text{（}a<b<c\text{）}$とし，曲線$K$上に点$\mathrm{P}(p,f(p))$をとる．$p$が$b<p<c$を満たすとき，三角形$\mathrm{BPC}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた面積$S$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．