2011　信州大学　前期　経済，理，医学部

2011-10421-0201

経済，医（保健）学部

易□　並□　難□

【１】　 $3$ つの数列 ${x_{n}} ， {y_{n}} ， {z_{n}}$ は次の $4$ つの条件をみたすとする．

(1)　 $x_{1} = a ， x_{2} = b ， x_{3} = c ， x_{4} = 4 ， y_{1} = c ， y_{2} = a ， y_{3} = b$

(2)　 ${y_{n}}$ は ${z_{n}}$ の階差数列である．

(3)　 ${z_{n}}$ は ${y_{n}}$ の階差数列である．

(4)　 ${z_{n}}$ は等差数列である．

　このとき，数列 ${x_{n}} ， {y_{n}} ， {z_{n}}$ の一般項を求めよ．

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経済，理（数理・自然情報），医（医，保健）学部

易□　並□　難□

【２】　硬貨 $1$ 枚を投げたとき，表が出れば $2$ 点，裏が出れば $1$ 点を得るとする．硬貨を繰り返し投げて，合計得点が $10$ 点以上になったときに終了する．次の確率を求めよ．

(1)　 $7$ 回目に合計得点がちょうど $10$ 点となって終了する確率

(2)　終了時の合計得点が $10$ 点である確率

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【３】　 $▵ ABC$ の外心を $O$ とし， $\vec{OA} = \vec{a} ， \vec{OB} = \vec{b} ， \vec{OC} = \vec{c}$ とおく． $| \vec{a} | = 1$ とする．点 $O$ に関する点 $P$ の位置ベクトルが $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ であるとする．

(1)　直線 $AP$ と直線 $BC$ は垂直に交わることを示せ．

(2)　 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{3}{4}$ とする． $OP ⫽ AB$ のとき， $\vec{c} = s \vec{a} + t \vec{b}$ となる実数 $s ， t$ を求めよ．

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【４】　放物線 $C : y = \frac{1}{2} x^{2} - 1$ 上にない点 $P (a, b)$ をとる．放物線 $C$ 上の点 $Q$ に対し直線 $PQ$ が点 $Q$ での $C$ の接線と垂直に交わるとき，直線 $PQ$ を $P$ から $C$ への垂線という．点 $P (a, b)$ から $C$ へ $3$ 本の異なる垂線が引けるための $a ， b$ に関する条件を求めよ．

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【５】　次の問いに答えよ．

(1)　次の不定積分を求めよ．

$\int \log (1 + \sqrt{x}) d x$

(2)　点 $(1, 1)$ を中心とする半径 $1$ の円と， $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた図形を， $x$ 軸の周りに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ．

　ただし，回転させる図形は円の中心を含まないものとする．

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【６】　曲線 $y = e^{x}$ 上の点 $A$ における接線と法線が $x$ 軸と交わる点を，それぞれ $B ， C$ とする． $▵ ABC$ の面積が $5$ のとき， $▵ ABC$ の外心の座標を求めよ．

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【７】　次の問いに答えよ．

(1)　 $p ， q$ を定数とし， $2$ つの数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ を次の式で定める．

$\begin{array}{l} a_{1} = p ， & a_{n + 1} = 2 a_{n} \\ b_{1} = q ， & b_{n + 1} = 3 a_{n} + b_{n} \end{array} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

　数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2)　行列 $A = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 3 & １ \end{matrix})$ について， $A^{n}$ を求めよ．ただし， $n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$ とする．

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