2011　信州大学　前期　教育学部

【１】　$x$を未知数とする$3$次方程式

$x^3+(2t-2)x^2+(t^3-3t+2)x+1=0$

の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．$t>0$ならば，${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2\leqq 0$であることを示しなさい．

【２】　座標平面上で$\overrightarrow{a}$を単位ベクトルとし，任意のベクトル$\overrightarrow{x}\text{，}\overrightarrow{y}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$を次のように定める：

$\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{x}+2(\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{y}+2(\overrightarrow{y}\cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{a}$

(1)　次の等式が成り立つことを示しなさい：

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{a}$

(2)　次の等式が成り立つことを示しなさい：

$|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|$

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が次のように定められている：

$a_1={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{，}{b}_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_{n+1}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　${a_n}^2+{b_n}^2$を求めなさい．

(2)　$a_{n+3}$と$a_n$の関係式および$b_{n+3}$と$b_n$の関係式をそれぞれ求めなさい．

(3)　$a_n\text{，}{b}_n$を求めなさい．

【４】(1)　$2$次関数

$f(x)=-x^2+a\text{，}g(x)={(x-a)}^2$

のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．

(2)　(1)のとき，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$のグラフが囲む図形の面積を$a$で表しなさい．

【１】　正の数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$と自然数$n\geqq 2$に対して，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明しなさい．

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\displaystyle \frac{a_i}{1+a_i}}>{\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{1+a_1+a_2+\cdots +a_n}}$

【２】(1)　$2$次関数

$f(x)=-x^2+a\text{，}g(x)={(x-a)}^2$

のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．

(2)　(1)のとき，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$のグラフが囲む図形の面積$S$を$a$で表し，$S\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$であることを示しなさい．

【１】　だ円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$の外側の点$\mathrm{P}(r,s)$から$C$に引いた$2$つの接線が常に直交するとき，そのような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めなさい．

【２】(1)　$a$を実数とするとき，関数

$f(x)=(x-a)(e^x+e^a)-2(e^x-e^a)$

について，$x>a$ならば，$f(x)>0$であることを示しなさい．

(2)　曲線$y=e^x$上で，$x$座標が$a\text{，}b\text{，}\log {\displaystyle \frac{e^a+e^b}{2}}\text{（}a<b\text{）}$である点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$における曲線$y=e^x$の接線の傾きは，直線$\mathrm{AB}$の傾きより大きいことを示しなさい．