2011　山梨大学　後期

2011-10401-0201

2011　山梨大学　後期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【１】　次の問題文の空欄 $ア$ から $サ$ にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

(1)　 ${(1 + t + t^{2} + t^{3} + t^{4} + t^{5})}^{3}$ の $t^{4}$ の係数は $ア$ であり， $t^{7}$ の係数は $イ$ である．

2011-10401-0202

2011　山梨大学　後期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【１】　次の問題文の空欄 $ア$ から $サ$ にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

(2)　 $f (x) = \frac{2 x + 1}{3 x + 1} ， g (x) = \frac{4 x + 2}{5 x + 1}$ とすると， $g (f (x)) = ウ， f (g (x)) = エ$ となる．また，分数関数 $h (x)$ が， $h (x) \neq - \frac{1}{3}$ となる $x$ に対して， $f (h (x)) = x$ を満たすとき， $h (x) = オ$ となる．

2011-10401-0203

2011　山梨大学　後期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【１】　次の問題文の空欄 $ア$ から $サ$ にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

(3)　さいころを $3$ 回投げる．このとき，偶数の目がちょうど $2$ 回出るという事象を $A ， 4$ 以上の目が少なくとも $1$ 回は出るという事象を $B ， 4$ 以上の目が少なくとも $2$ 回は出るという事象を $C$ とすると，事象 $A \cap B$ の起こる確率 $P (A \cap B) ，$ 事象 $A \cap C$ の起こる確率 $P (A \cap C)$ は，それぞれ $P (A \cap B) = カ， P (A \cap C) = キ$ である．

2011-10401-0204

2011　山梨大学　後期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【１】　次の問題文の空欄 $ア$ から $サ$ にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

(4)　円 $x^{2} + y^{2} = 1$ に外部の点 $A (a, b)$ から引いた $2$ 本の接線の接点を $S ， T$ とする． $∠SAT = θ （ 0 ° < θ < 180 ° ）$ とするとき， $\cos θ = ク， \sin θ = ケ$ である．

2011-10401-0205

2011　山梨大学　後期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【１】　次の問題文の空欄 $ア$ から $サ$ にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

(5)　 $▵ABC$ の辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $D ，$ 辺 $AC$ を $1 : 3$ に内分する点を $E$ とし，線分 $CD ， BE$ の交点を $F$ とすると， $CF : FD = コ， BF : FE = サ$ となる．

2011-10401-0206

2011　山梨大学　後期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【２】　 $1$ から $n$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $n$ 枚のカードがあり，無作為に $1$ 枚選んで，書かれた数を記録して元に戻す．この試行を $4$ 回行い，記録された数を順に $a ， b ， c ， d$ とする．

(1)　 $n = 4$ のとき， $a d - b c = 0$ となる確率を求めよ．

(2)　 $n = 6$ のとき，行列 $X = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ について， $X^{2} = 3 X$ となる確率を求めよ．

(3)　自然数 $n$ に対して， $a + b = c + d$ となる確率を求めよ．

(4)　自然数 $n$ に対して， $a d - b c = 0$ となる確率を $p_{n}$ とするとき， $\lim_{n \to \infty} p_{n} = 0$ であることを示せ．

2011-10401-0207

2011　山梨大学　後期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【３】　成分が整数である $2$ 次の正方行列の集合を， $S = {(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) | a ， b ， c ， d は整数}$ とする．

(1)　 $2$ 次の正方行列 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ および $A$ の逆行列が $S$ に属するとき， $| a d - b c | = 1$ であることを示せ．

(2)　次の条件を満たす $2$ 次の正方行列 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ の例を $1$ つあげよ．

$a ， b ， c ， d$ は整数でない有理数で， $a d - b c \neq 0$ かつ $A^{2}$ は $S$ に属する．

(3)　有理数を成分とする $2$ 次の正方行列 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ について， $A^{2}$ が $S$ に属するならば， $a d - b c$ は整数であることを示せ．

2011-10401-0208

2011　山梨大学　後期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【４】　自然数 $n$ に対して， $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \log k$ とおく．

(1)　 $n$ を $2$ 以上の自然数とするとき， $S_{n - 1} + \frac{1}{2} \log n ≦ \int_{1}^{n} \log x d x$ となることを示せ．ただし， $0 < a < b ， a ≦ x ≦ b$ のとき， $\frac{\log b - \log a}{b - a} (x - a) + \log a ≦ \log x$ が成り立つことを用いてもよい．

(2)　 $n$ を $2$ 以上の自然数とするとき， $S_{n + 1} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k} ≧ \int_{1}^{n} \log x d x$ となることを示せ．

(3)　任意の自然数 $n$ に対して， $e^{- n + \frac{1}{2}} n^{n + \frac{1}{2}} ≦ n! ≦ e^{- n + 1} n^{n + \frac{1}{2}}$ となることを示せ．

2011 山梨大学 後期

2011　山梨大学　後期