2011　山梨大学　前期

【１】

(1)　$0\leqq x<2\pi$のとき，関数$y=\cos 2x-2\sqrt{3}\sin x+1$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【１】

(2)　点$\mathrm{P}(2,4)$を通り，円$x^2+y^2=2$に接する直線の方程式を求めよ．

【１】

(3)　$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=4a_n+3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$により定められた数列の一般項を求めよ．

【１】

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，半径を$1$とする．$13\overrightarrow{\mathrm{OA}}+12\overrightarrow{\mathrm{OB}}+5\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$であるとき，次の問いに答えよ．

(ア)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

(イ)　$\mathrm{▵OAB}\text{，}\mathrm{▵OBC}\text{，}\mathrm{▵OCA}$の面積を求めよ．

【２】　$xy$平面上の放物線$y=-x^2\cdots \text{①}$と定点$\mathrm{A}(0,1)$がある．点$\mathrm{P}$が放物線$\text{①}$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$を$t^2:(1-t^2)$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C_t$とする．ただし，$0<t<1$である．

(1)　軌跡$C_t$の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　放物線$\text{①}$と軌跡$C_t$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．

(3)　放物線$\text{①}$と軌跡$C_t$で囲まれた図形の面積が最大となる$t$の値を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．ただし，$0<x<1$である．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$が定める平面上の点$\mathrm{P}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OM}}+u\overrightarrow{\mathrm{ON}}\text{，}s+t+u=1$

と表されることを示せ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$線分$\mathrm{OG}$と$\mathrm{▵AMN}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．比$\mathrm{OQ}:\mathrm{QG}$を$x$を用いて表せ．

【１】

(1)　実数$x$に対して$[x]$を$m\leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{[{10}^{2n}\pi ]}{{10}^{2n}}}$を求めよ．

【１】

(2)　$y=\log {\displaystyle \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}}$を微分せよ．

【１】

(3)　$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\sin x+\sin 2x|dx$を求めよ．

【１】

(4)　$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

【２】　実数全体で定義された関数$F(x)$が次の条件$\text{①}$と$\text{②}$の両方を満たすとき「$F(x)$は性質(P)を持つ」ということにする．

$\text{①}$　すべての実数$x$について$F(x)>0$である．

$\text{②}$　$F(x)$は何度でも微分が可能で${\displaystyle \frac{d^2}{{dx}^2}}\log F(x)={\displaystyle \frac{1}{{\{F(x)\}}^2}}$を満たす．

(1)　$y=f(x)$が性質(P)を持つとき$y^{″}y-{(y^{\prime })}^2=1\text{，}{y}^{‴}y-y^{″}{y}^{\prime }=0$となること，および${\displaystyle \frac{y^{″}}{y}}$は正の定数であることを示せ．

(2)　$y=f(x)$は性質(P)を持つとする．${\displaystyle \frac{y^{″}}{y}}=k^2$（$k$は正の定数）とおくとき，$k^2{y}^2-{(y^{\prime })}^2=1$であることを示し，さらに$ky-y^{\prime }>0$および$ky+y^{\prime }>0$が成り立つことを示せ．

(3)　$c$を実数とする．(2)のとき，関数$kf(c)y+{\displaystyle \frac{1}{k}}{f}^{\prime }(c)y^{\prime }$も性質(P)を持つことを証明せよ．ただし$\text{①}$を示すために

$kf(c)y+{\displaystyle \frac{1}{k}}{f}^{\prime }(c)y^{\prime }=f(c)(ky\mp y^{\prime })\pm {\displaystyle \frac{1}{k}}{y}^{\prime }(k(c)\pm f^{\prime }(c))$（複号同順）

を利用してもよい．

【３】　弧度法で表された$\theta$に対し，$M(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin \theta \\ 2\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$とし，楕円$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$を$C$とする．

(1)　$M(\theta )$で表される$1$次変換により$C$上の点は$C$上の点に移ることを示せ．

(2)　弧度法で表された$\alpha \text{，}\beta$は$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たしているとし，$M(\alpha )$で表される$1$次変換により点$(\cos \beta ,2\sin \beta )$が移される点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線と$C$で囲まれる部分のうち，原点$\mathrm{O}$を含まない方の面積$S$を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$0\leqq \alpha \leqq \pi \text{，}0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，次の方程式を満たす$\alpha$と$\theta$を求めよ．

$\{\begin{array}{l}2{\cos }^2\alpha -2\sqrt{2}\cos \alpha +1=0\\ \sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta =2\cos \alpha \end{array}$

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$2$次方程式$x^2-(2a+3)x+a+2=0$の$2$つの解が${\log }_{2}b$と${\log }_{2}2b$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　次の連立不等式が表す領域を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}y+2\leqq 2x\leqq 6-y\\ 2y\geqq -1\end{array}$

　領域$D$と放物線$y=p{x}^2-1$が共有点を持つような定数$p$の範囲を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\mathrm{AB}=k$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$k$を用いて表し，$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす$s$を$k$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$k$を用いて表せ．

(3)　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$k=4$のとき線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．

【３】　放物線$y=x^2+2x$を$C_1\text{，}$放物線$y=x^2-2x+2$を$C_2$とする．

(1)　$C_1$と$C_2$を$y={(x-p)}^2+q$の形に変形せよ．また，$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$および$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$2$次正方行列$A$は点$(1,2)$を点$(1,2)$へ移し，点$(3,3)$を点$(9,12)$へ移す．

(1)　$A$を求めよ．

(2)　行列$P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ a& b\end{array}\right)$および$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& m\end{array}\right)$は$AP=PB$を満たす．$P$が逆行列を持つときの$a\text{，}b\text{，}m$の値および逆行列$P^{-1}$を求めよ．

(3)　自然数$n$について，$A^n$を$n$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{C}(1,3)$が$A^n$により移動する点を${\mathrm{C}}_n$と表す．${\mathrm{C}}_n$は$n$によらない直線$l$上の点であることを示せ．また$l$の方程式を求めよ．

【５】　放物線$C\text{：}y=x^2$上の点${\mathrm{P}}_1$の座標を$(1,1)$とする．定数$k\text{（}0<k<1\text{）}$に対して，${\mathrm{P}}_1$と点$(0,k)$を通る直線と$C$との交点を${\mathrm{P}}_2$とする．ただし，${\mathrm{P}}_2$は${\mathrm{P}}_1$とは異なる点とする．${\mathrm{P}}_2$と点$(0,k^2)$を通る直線と$C$との交点を${\mathrm{P}}_3$とする．ただし，${\mathrm{P}}_3$は${\mathrm{P}}_2$とは異なる点とする．以下同様にして，自然数$n$に対し，${\mathrm{P}}_n$と点$(0,k^n)$を通る直線と$C$との交点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．ただし，${\mathrm{P}}_{n+1}$は${\mathrm{P}}_n$とは異なる点とする．

(1)　${\mathrm{P}}_{2n-1}$および${\mathrm{P}}_{2n}$の座標を$n$と$k$を用いて表せ．

(2)　線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の長さを$l_n$とする．${l_{2n-1}}^2$および${l_{2n}}^2$を$n$と$k$を用いて表せ．

(3)　$k={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，無限級数${l_1}^2+{l_2}^2+\cdots +{l_n}^2+\cdots$の和を求めよ．

【６】　原点を中心とする楕円$C$が媒介変数$t$を用いて

$x=2\sin (t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\text{，}y=2\sin t$

と表される．ただし，$t$は$0\leqq t\leqq 2\pi$とする．

(1)　楕円$C$上の点$\mathrm{P}(x,y)$と原点の距離を$l$とする．$l^2$を媒介変数$t$を用いて表せ．

(2)　楕円$C$の長軸の長さを求めよ．また，長軸と$x$軸のなす角度$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$は$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(3)　楕円$C$の第$1$象限にある部分と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．