2011　福井大学　前期

【１】　$1$から$6$の目の出る確率がそれぞれ右の表のようになっているさいころがあるとする．このさいころの出る目の期待値が${\displaystyle \frac{15}{4}}$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}y$の値を求めよ．

(2)　このさいころを$5$回投げるとき，$3$回以上$6$の目が出る確率を求めよ．

(3)　このサイコロを$2$回投げるとき，出る目の最小値の期待値を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(4,2)\text{，}\mathrm{B}(5,0)$がある．$\mathrm{A}$を${\mathrm{P}}_0$とし，${\mathrm{P}}_0$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OB}$との交点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_1$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OA}$との交点を${\mathrm{P}}_2$とする．同様にして，自然数$n$に対して，${\mathrm{P}}_{2n}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OB}$との交点を${\mathrm{P}}_{2n+1}\text{，}{\mathrm{P}}_{2n+1}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OA}$との交点を${\mathrm{P}}_{2n+2}$とする．さらに，自然数$n$に対して，線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$l_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$l_1+l_2+\cdots +l_n>\mathrm{OA}+\mathrm{OB}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

(3)　線分${\mathrm{P}}_{2n-1}{\mathrm{P}}_{2n}$の中点を${\mathrm{M}}_n$とするとき，点${\mathrm{M}}_1\text{，}{\mathrm{M}}_2\text{，}{\mathrm{M}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{M}}_n\text{，}\cdots$は一直線上にあることを示し，その直線の方程式を求めよ．

【３】　平面上に$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$である二等辺三角形$\mathrm{OAB}$があり，線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}k=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle COD}$となるときの$k$の値$k_0$を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle APD}=90\mathrm{°}\text{，}\mathrm{OP}=1$を満たす点$\mathrm{P}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}k$を用いて表せ．

【４】　関数$f(x)=(x^2-4x+1)e^{-x}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　関数$g(x)$は$g^{\prime }(x)=f(x)$を満たし，かつ，曲線$y=g(x)$上の点$(3,g(3))$における接線は$x$軸と点$(2,0)$で交わる．このとき$g(x)$を求めよ．

(3)　$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とするとき，曲線$y=f(x)$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1)\text{，}\mathrm{C}(0,c)$がある．ただし，$c$は正の定数とする．$t$を$0\leqq t\leqq 1$を満たす実数とし，線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．ただし，例えば線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点は，$t=0$のときは$\mathrm{A}\text{，}t=1$のときは$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{▵OPQ}$の面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

(2)　$I={\displaystyle {\int }_0^1}S(t)dt$の値が台形$\mathrm{OABC}$の面積の${\displaystyle \frac{2}{5}}$倍に等しくなるとき，$c$と$I$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$0\leqq t<1$に対し，線分$\mathrm{QO}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{▵OPR}$の面積を$T(t)$とする．$T(t)$が$t={\displaystyle \frac{1}{3}}$で最大となるような$c$の値と，そのときの$T(t)$の最大値を求めよ．

【１】　$1$辺の長さが$1$の正十二面体を考える．点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$を図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．ただし，$1$辺の長さが$1$の正五角形の対角線の長さは${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$であることを用いてよい．なお，正十二面体では，すべての面は合同な正五角形であり，各頂点は$3$つの正五角形に共有されている．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ．

【２】　座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に，点$\mathrm{P}$がある．ただし，$\mathrm{P}$は第$1$象限の点である．点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\theta =\mathrm{\angle QOP}$のときの$\tan \mathrm{\angle QOR}$と$\tan \mathrm{\angle ROP}$の値をそれぞれ$f(\theta )\text{，}g(\theta )$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(\theta )$と$g(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$g(\theta )$の$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　面の出る確率が$p\text{，}$裏の出る確率が$1-p$のコイン$8$枚と，$1$つの箱が用意されている．最初，箱には$8$枚のコインのうちの$1$枚が入っており，次の操作を繰り返し行う．

(操作)　箱の中のコインをすべて取り出し同時に投げる．裏の出たコインはそのまま箱に戻す．表の出たコインは，その枚数を数え，同数のコインを新たに追加して箱に戻す．

例えば，箱の中に$3$枚のコインがあり，それらを投げた結果，表が$2$枚，裏が$1$枚出たとすると，操作の結果，箱の中のコインは，$2$枚追加されて$5$枚になる．以下の問いに答えよ．

(1)　$2$回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが$2$枚である確率を$p$を用いて表せ．

(2)　$2$回目の操作の終了時，箱の中にあるコインの枚数の期待値を$p$を用いて表せ．

(3)　$3$回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが$6$枚以下である確率を$p$を用いて表せ．

【４】　関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は次の条件を満たしている．

(ⅰ)　$f_0(x)=e^x$，　(ⅱ)　$f_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(n+t)f_{n-1}(t)dt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)$を求めよ．

(2)　$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

[Ⅰ]　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上，直線$y=kx$（$k$は定数）に関する対称移動を$f$で表す．また座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して，直線$\mathrm{OP}$を$\mathrm{O}$を中心として角${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ回転して得られる直線$l$に$\mathrm{P}$から下ろした垂線と$l$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$を$\mathrm{Q}$に移す移動を$g$で表す．ただし$\mathrm{O}$は$g$により$\mathrm{O}$自身に移動するものとする．$f\text{，}g$をこの順に続けて行って得られる移動（合成変換$g\circ f$）を表す行列を$A$とおくとき，$A$およびその逆行列$A^{-1}$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

[Ⅱ]　$2$次の正方行列$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，$T(M)=a+d\text{，}D(M)=ad-bc$と定める．このとき以下の命題を証明せよ．

「すべての自然数$n$に対して$T(M^n)={\{T(M)\}}^n$が成り立つことと，$D(M)=0$であることは，互いに同値である．」

【２】　$1$辺の長さが$1$の正十二面体を考える．点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．なお，正十二面体では，すべての面は合同な正五角形であり，各頂点は$3$つの正五角形に共有されている．

(1)　$1$辺の長さが$1$の正五角形の対角線の長さを求めて，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABD}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらにその長さを求めよ．

【３】　楕円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>b>0\text{）}$上に$2$点$\mathrm{P}(0,-b)\text{，}$ $\mathrm{O}(a\cos \theta ,b\sin \theta )$をとる．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$l$とし，$\mathrm{P}$を通り$l$に平行な直線と$C$との交点のうち$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{R}$とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$\mathrm{▵PQR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　$C$の焦点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{F}$とする．(2)で求めた$\mathrm{Q}$の$x$座標と$\mathrm{F}$の$x$座標の大小を比較せよ．

【４】　関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は次の条件を満たしている．

(ⅰ)　$f_0(x)=e^{2x}+1$，　

(ⅱ)　$f_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(n+2t)f_{n-1}(t)dt-{\displaystyle \frac{2x^{n+1}}{n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)$を求めよ．

(2)　$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

(3) 　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}\{{f_n}^{\prime }({\displaystyle \frac{1}{2}}\left)\right\}$を求めよ．ただし，$0<r<1$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0$となることを用いてよい．