2011　金沢大学　後期理工学域数物科・電子情報学類

【１】　$f(x)=|\cos 2x|-\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$となる$x$の値をすべて求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|f(x)|dx$を求めよ．

【２】　座標平面上で，傾き$a$の直線$l$は点$(1,0)$を通り，放物線$C\text{：}y=x^2+1$と共有点を持たないものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$C$上の点$(t,t^2+1)$と直線$l$の距離を$f(t)$とする．定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$を$a$で表せ．

(3)　(2)で求めた定積分を$g(a)$とおく．(1)の範囲で，$g(a)$の最大値を求めよ．

図１	図２

【３】　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=5\text{，}\mathrm{AB}=6$である$▵\mathrm{OAB}$の内接円を$C_1$とする．図１のように$C_1$および辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$に内接する円を$C_2$とする．さらに，$C_2$および辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$に接する円のうち頂点$\mathrm{O}$側のものを$C_3$とする．以下同様にして$C_1\text{，}{C}_2\text{，}\cdots \text{，}{C}_n$が定まったとき，図２のように$C_n$および辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$に接する円を$C_{n+1}$とする．$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，円$C_n$の中心を${\mathrm{P}}_n\text{，}$半径を$r_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$の長さを$r_n$で表せ．また，$r_1$および${\displaystyle \frac{r_{n+1}}{r_n}}$の値を求めよ．

(2)　$r_n$を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$から円$C_1\text{，}{C}_2\text{，}\cdots \text{，}{C}_n$の内部を取り除いた部分の面積を$S_n$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{e^x}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，不等式$e^x>1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$が成り立つことを示せ．

(2)　(1)の不等式を用いて$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=0$であることを示せ．また，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を調べよ．

(3)　$a$を実数の定数とするとき，方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を調べよ．

(4)　方程式${\{f(x)\}}^3-2f(x)+1=0$の異なる実数解の個数を求めよ．