2011　富山大学　前期

【１】　放物線$C\text{：}y=x^2-4x+3$と直線$l\text{：}y=mx-m$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$と直線$l$が接するときの$m$の値$m_0$を求めよ．

(2)　$m>m_0$とする．放物線$C$と直線$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，放物線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$をそれぞれ$m$を用いて表せ．

(3)　$m>m_0$における$S_2-2S_1$の最小値，およびそのときの$m$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=|x^2-2x-3|$のグラフをかけ．

(2)　$a$を実数とする．このとき，方程式$|x^2-2x-3|=a$の実数解の個数を求めよ．

(3)　方程式$||x^2-2x-3|-6|=2$の実数解の個数を求めよ．

【３】　$\cos \theta =\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{5}}}$のとき

$a={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}(\sin \theta +\cos \theta )-5\sin 2\theta }{2}}$

とおく．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a$に対して，${\displaystyle \frac{1}{a}}$の分母を有理化せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^x\cos xdx$と$J={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^x\sin xdx$の値を求めよ．

(2)　実数$a\text{，}b$が

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(a\cos x+b\sin x)}^{2}dx=1$

をみたしながら動くとき

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(e^x-a\cos x-b\sin x)}^{2}dx$

の最大値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=|x^2-2x-3|$のグラフをかけ．

(2)　$a$を実数とする．このとき，方程式$||x^2-2x-3|-a|=2$の実数解の個数を求めよ．

【３】　実数$t$に対して，放物線$y=x^2$上の$3$点$\mathrm{A}(t-1,{(t-1)}^2)\text{，}\mathrm{B}(t,t^2)\text{，}\mathrm{C}(t+1,{(t+1)}^2)$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の外心の$x$座標を$p(t)$とおく．$p(t)$を$t$を用いて表せ．

(2)　$p(t)$の極値を求めよ．

【２】　$f(x)=x^3+x^2+7x+3\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$はただ$1$つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha <0$をみたすことを示せ．

(2)　曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．

(3)　$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．

【３】　平面内の$2$つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に対して

$\overrightarrow{v}={\displaystyle \frac{1}{2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$

とおく．ただし，$\theta$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角であり，$0<\theta <\pi$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{v}$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{x}$を，$\overrightarrow{a}$に垂直で，$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{b}>0$をみたす単位ベクトルとする．このとき$\overrightarrow{x}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．

(3)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$について$x^2+k>\left|x\right|$が成立するような，定数$k$の範囲を求めよ．

(2)　放物線$C_1\text{：}y=x^2+k$を考える．ただし，定数$k$は(1)の範囲にあるとする．直線$y=x$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．$C_1$上に点${\mathrm{P}}_1$を，$C_2$上に点${\mathrm{P}}_2$をとる．点${\mathrm{P}}_1$の$x$座標を$s\text{，}$点${\mathrm{P}}_2$の$y$座標を$t$とする．また原点を$\mathrm{O}(0,0)$とする．

(a)　$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積を$A$とおく．$A$を$s$と$t$を用いて表せ．ただし，$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{L}(a,b)\text{，}\mathrm{M}(c,d)$が同一直線上にないとき，その$3$点を頂点とする$\mathrm{▵OLM}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{2}}|ad-bc|$であることは使ってよい．

(b)　$t$を固定する．$s$が実数全体を動くときの$A$の最小値を$B$とする．$B$を$t$を用いて表せ．

(c)　$t$が実数全体を動くときの$B$の最小値を求めよ．

【２】　$p$を実数とする．すべての実数$x$に対して

$u(x)=x^2+p{\displaystyle {\int }_0^1}(1+tx)u(t)dt$

をみたす関数$u(x)$が存在するかどうかを考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　もしこのような$u(x)$が存在すれば，$u(x)$は$2$次関数であることを示せ．

(2)　このような$u(x)$が存在しないような$p$の値をすべて求めよ．

【３】　実数を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& c\end{array}\right)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列を表し，$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$2$つのベクトル$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$と$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．

(3)　$A$を(2)で求めた行列とする．$1$個のさいころを$k+1$回投げて，出た目を順に$m_1\text{，}{m}_2\text{，}\cdots \text{，}{m}_{k+1}$とする．このとき，ベクトル$P_0\text{，}{P}_1\text{，}{P}_2\text{，}\cdots \text{，}{P}_{k+2}$を次のように定める．

・$P_0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{，}{P}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

・$P_{n+1}=P_n+A^{m_n}(P_n-P_{n-1})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}k+1\text{）}$

　さらに，ベクトル$P_1\text{，}\cdots \text{，}{P}_{k+1}$がすべて異なり$P_{k+2}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$となる確率を$q_n$とする．このとき，$q_1\text{，}{q}_2\text{，}{q}_3$を，それぞれ求めよ．

【２】　$p$を実数とする．すべての実数$x$に対して

$u(x)=x^2+p{\displaystyle {\int }_0^1}(1+tx)u(t)dt$

をみたす関数$u(x)$が存在するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$u(x)$は$2$次関数であることを示せ．

(2)　$p\ne 8+2\sqrt{13}$かつ$p\ne 8-2\sqrt{13}$であることを示せ．

【３】　実数を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& c\end{array}\right)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列を表し，$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$2$つのベクトル$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$と$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．

(3)　$A$を(2)で求めた行列とする．$1$個のさいころを$2$回投げて，出た目を順に$l\text{，}m$とする．このとき，ベクトル$P_0\text{，}{P}_1\text{，}{P}_2\text{，}{P}_3$を次のように定める．

・$P_0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{，}{P}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

・$P_2=P_1+A^l(P_1-P_0)$

・$P_3=P_2+A^m(P_2-P_1)$

　このとき，$P_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$となる確率を求めよ．