2011　新潟大学　前期

【１】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=2$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．実数$t$に対して，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t(\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b})$

とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$を満たすとき，$t$の値を求めよ．さらに線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

【２】　数直線上の動点$\mathrm{A}$がはじめ原点にある．動点$\mathrm{A}$は$1$秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で指定された長さを移動するものとする．$n$秒後に動点$\mathrm{A}$が原点に戻る確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　動点$\mathrm{A}$が$1$秒ごとに正の向きに$1$または負の向きに$1$移動するとき，$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3\text{，}{p}_4$を求めよ．

(2)　動点$\mathrm{A}$が$1$秒ごとに正の向きに$2$または負の向きに$1$移動するとき，$p_6$を求めよ．

【３】　$xy$平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(4,0)\text{，}\mathrm{B}(3,3)$とする．$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$を通る放物線を$y=-a{x}^2+bx$とする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$の式で表せ．

(2)　$y=-a{x}^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形が，$▵\mathrm{OAB}$に含まれるような，$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$y=-a{x}^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形の面積が$▵\mathrm{OAB}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{3}}$となるとき，$a$の値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を正の実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　不等式$\sqrt{ab}\leqq {\displaystyle \frac{a+b}{2}}$を示せ．

(2)　不等式$\sqrt[4]{abcd}\leqq {\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4}}$を示せ．

(3)　不等式$\sqrt[4]{a{b}^3}\leqq {\displaystyle \frac{a+3b}{4}}$を示せ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$A^2\text{，}{A}^3$を求めよ．

(2)　$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$となる最小の自然数$n$を求めよ．

(3)　$A+A^2+A^3+\cdots +A^{100}$を求めよ．

【２】　数直線上の動点$\mathrm{A}$がはじめ原点にある．動点$\mathrm{A}$は$1$秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で指定された長さを移動するものとする．$n$秒後に動点$\mathrm{A}$が原点に戻る確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　動点$\mathrm{A}$が$1$秒ごとに正の向きに$1$または負の向きに$1$移動するとき，$p_1\text{，}{p}_2$を求めよ．

(2)　動点$\mathrm{A}$が$1$秒ごとに正の向きに$1$または負の向きに$1$移動するとき，$p_n$を求めよ．

(3)　動点$\mathrm{A}$が$1$秒ごとに正の向きに$3$または負の向きに$1$移動するとき，$p_n$を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=2$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$を満たすとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

【４】　関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}t& \text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}\\ 2\pi -t& \text{（}\pi <t\leqq 2\pi \text{）}\end{array}$

に対して，次のように$2$つの関数$g(x)\text{，}h(x)$を$0\leqq x\leqq 2\pi$で定義する．

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(t)\cos (t+x)dt\text{，}h(x)={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(t)\sin (t+x)dt$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$g(x)\text{，}h(x)$を求めよ．

(2)　$x$が$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数$y=g(x)+h(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【５】　実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(-1)\text{，}f(0)\text{，}f(1)$が整数であるならば，すべての整数$n$に対して，$f(n)$は整数であることを示せ．

(2)　$f(2010)\text{，}f(2011)\text{，}f(2012)$が整数であるならば，すべての整数$n$に対して，$f(n)$は整数であることを示せ．