2011　東京工業大学　特別入学資格試験

第1類（理学部）

易□　並□　難□

【1-1】　 $n!$ が $n^{2}$ の倍数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ．

2011　東京工業大学　特別入学資格試験

第1類（理学部）

易□　並□　難□

【1-2】　正の数 $a ， b ， c$ が三角形の $3$ 辺の長さとなるように動くとき

$\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a b + b c + c a}$

のとりえる値の範囲を求めよ．

2011　東京工業大学　特別入学資格試験

第1類（理学部）

易□　並□　難□

【2-1】　 $f (x^{2} + 1) = {f (x)}^{2} + 1$ をみたす $n$ 次の多項式 $f (x)$ が存在するような自然数 $n$ をすべて求めよ．

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第1類（理学部）

易□　並□　難□

【2-2】　半径 $1$ の円に内接する正 $9$ 角形がある．この正 $9$ 角形の周上にすべての頂点を持つ正多角形の辺数 $n$ を $5$ つ求めよ．さらに各 $n$ に対し，そのような正 $n$ 角形の例を $1$ つあげて $1$ 辺の長さを求めよ．