2011　東京学芸大学　前期

【１】　実数$a\text{，}b$に対して，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a-1& 2a\\ 1& 2a-1\end{array}\right)$が${(A-bE)}^2=O$をみたしているとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とする．

【２】　座標平面上で円$C:x^2+{(y-4)}^2=16$上の異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$に対し，線分$\mathrm{PQ}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を原点に固定して，点$\mathrm{Q}$を円$C$上で動かしたときの点$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{M}$が動く範囲を図示せよ．

【３】　下の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{-2x}dx\text{，}{\displaystyle \int }{x}^2{e}^{-2x}dx$を求めよ．

(2)　すべての実数$x$について

$f(x)=(2x^2+3)e^{-x}+{\displaystyle {\int }_0^{\log 2}}f(t)e^{-t}dt$

をみたす関数$f(x)$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

【４】　長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円の弧$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる．このとき，下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{O}$とし，$\angle \mathrm{POB}=\theta$とするとき，弧$\mathrm{AP}$と弦$\mathrm{AP}$で囲まれる部分の面積を$\theta$で表せ．

(2)　弦$\mathrm{AP}$がこの半円の面積を$2$等分するとき，不等式$2\stackrel{⌢}{\mathrm{BP}}<\stackrel{⌢}{\mathrm{AP}}<3\stackrel{⌢}{\mathrm{BP}}$が成り立つことを示せ．ただし$\stackrel{⌢}{\mathrm{AP}}\text{，}\stackrel{⌢}{\mathrm{BP}}$は弧$\mathrm{AP}\text{，}$弧$\mathrm{BP}$の長さを表す．