2011　東京大学　前期

【１】　$x$の$3$次関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$が，$3$つの条件

$f(1)=1\text{，}f(-1)=-1\text{，}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}(b{x}^2+cx+d)dx=1$

を全て満たしているとする．このような$f(x)$の中で定積分

$I={\displaystyle {\int }_{-1}^{\frac{1}{2}}}{\{f^{″}(x)\}}^{2}dx$

を最小にするものを求め，そのときの$I$の値を求めよ．ただし，$f^{″}(x)$は$f^{\prime }(x)$の導関数を表す．

【２】　実数$x$の小数部分を，$0\leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし，これを記号$⟨x⟩$で表す．実数$a$に対して，無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように順次定める．

(ⅰ)　$a_1=⟨a⟩$

(ⅱ)　$\{\begin{array}{l}{a}_n\ne 0\text{のとき，}{a}_{n+1}=⟨{\displaystyle \frac{1}{a_n}}⟩\\ a_n=0\text{のとき，}{a}_{n+1}=0\end{array}$

(1)　$a=\sqrt{2}$のとき，数列$\left\{a_n\right\}$を求めよ．

(2)　任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような${\displaystyle \frac{1}{3}}$以上の実数$a$をすべて求めよ．

【３】　$p\text{，}q$を$2$つの正の整数とする．整数$a\text{，}b\text{，}c$で条件

$-q\leqq b\leqq 0\leqq a\leqq p\text{，}b\leqq c\leqq a$

を満たすものを考え，このような$a\text{，}b\text{，}c$を$[a,b;c]$の形に並べたものを$(p,q)$パターンと呼ぶ．各$(p,q)$パターン$[a,b;c]$に対して

$w([a,b;c])=p-q-(a+b)$

とおく．

(1)　$(p,q)$パターンのうち，$w([a,b;c])=-q$となるものの個数を求めよ．

　また，$w([a,b;c])=p$となる$(p,q)$パターンの個数を求めよ．

　以下$p=q$の場合を考える．

(2)　$s$を$p$以下の整数とする．$(p,p)$パターンで$w([a,b;c])=-p+s$となるものの個数を求めよ．

【４】　座標平面上の$1$点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}})$をとる．放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{Q}(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}\mathrm{R}(\beta ,{\beta }^2)$を$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき，$▵\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}(X,Y)$の軌跡を求めよ．

【１】　座標平面において，点$\mathrm{P}(0,1)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$a$を$0<a<1$を満たす実数とし，直線$y=a(x+1)$と$C$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

(1)　$▵\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ．

(2)　$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，$S(a)$が最大となる$a$を求めよ．

【２】　実数$x$の小数部分を，$0\leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし，これを記号$⟨x⟩$で表す．実数$a$に対して，無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように順次定める．

(ⅰ)　$a_1=⟨a⟩$

(ⅱ)　$\{\begin{array}{l}{a}_n\ne 0\text{のとき，}{a}_{n+1}=⟨{\displaystyle \frac{1}{a_n}}⟩\\ a_n=0\text{のとき，}{a}_{n+1}=0\end{array}$

(1)　$a=\sqrt{2}$のとき，数列$\left\{a_n\right\}$を求めよ．

(2)　任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような${\displaystyle \frac{1}{3}}$以上の実数$a$をすべて求めよ．

(3)　$a$が有理数であるとする．$a$を整数$p$と自然数$q$を用いて$a={\displaystyle \frac{p}{q}}$と表すとき，$q$以上のすべての自然数$n$に対して，$a_n=0$であることを示せ．

【３】　$L$を正定数とする．座標平面の$x$軸上の正の部分にある点$\mathrm{P}(t,0)$に対し，原点$\mathrm{O}$を中心とし点$\mathrm{P}$を通る円周上を，$\mathrm{P}$から出発して半時計回りに道のり$L$だけ進んだ点を$\mathrm{Q}(u(t),v(t))$と表す．

(1)　$u(t)\text{，}v(t)$を求めよ．

(2)　$0<a<1$の範囲の実数$a$に対し，積分

$f(a)={\displaystyle {\int }_a^1}\sqrt{{\{u^{\prime }(t)\}}^2+{\{v^{\prime }(t)\}}^2}dt$

を求めよ．

(3)　極限$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(a)}{\log a}}$を求めよ．

【５】　$p\text{，}q$を$2$つの正の整数とする．整数$a\text{，}b\text{，}c$で条件

$-q\leqq b\leqq 0\leqq a\leqq p\text{，}b\leqq c\leqq a$

を満たすものを考え，このような$a\text{，}b\text{，}c$を$[a,b;c]$の形に並べたものを$(p,q)$パターンと呼ぶ．各$(p,q)$パターン$[a,b;c]$に対して

$w([a,b;c])=p-q-(a+b)$

とおく．

(1)　$(p,q)$パターンのうち，$w([a,b;c])=-q$となるものの個数を求めよ．

　また，$w([a,b;c])=p$となる$(p,q)$パターンの個数を求めよ．

　以下$p=q$の場合を考える．

(2)　$s$を$p$以下の整数とする．$(p,p)$パターンで$w([a,b;c])=-p+s$となるものの個数を求めよ．

(3)　$(p,p)$パターンの総数を求めよ．

【６】(1)　$x\text{，}y$を実数とし，$x>0$とする．$t$を変数とする$2$次関数$f(t)=x{t}^2+yt$の$0\leqq t\leqq 1$における最大値と最小値の差を求めよ．

(2)　次の条件を満たす点$(x,y)$全体からなる座標平面内の領域を$S$とする．

　$S$の概形を図示せよ．

(3)　次の条件を満たす点$(x,y,z)$全体からなる座標空間内の領域を$V$とする．

　$V$の体積を求めよ．