2011　埼玉大学　前期（経済，教育学部）

【１】　実数$a$は，$0<a<1$をみたしているとする．

(1)　$3$次方程式$x^3+3a{x}^2+3(a^2-1)x=0$は$3$つの異なる実数解をもつことを証明しなさい．

(2)　$3$次方程式$x^3+3a{x}^2+3(a^2-1)x-2=0$は$3$つの異なる実数解をもつことを証明しなさい．

【２】　各辺の長さが$0$でない三角形$\mathrm{ABC}$に対し，

$P(\mathrm{A})=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}P(\mathrm{B})=\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}\text{，}P(\mathrm{C})=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$

とおく．

　このとき以下の問いに，それぞれ理由をつけて答えなさい．

(1)　$P(\mathrm{B})=P(\mathrm{C})$をみたすとき，この三角形はどのような三角形か．

(2)　$P(\mathrm{A})P(\mathrm{B})=P(\mathrm{C})P(\mathrm{A})$をみたすとき，この三角形はどのような三角形か．

【３】　ある袋に$10$と書かれた$2$枚のカードと$5$と書かれた$3$枚のカードが入っている．この袋の中をよくかきまぜてから，カードを取り出す．以下の$3$つの方法で取り出した場合に，それぞれの期待値を求めなさい．

(1)　この袋からカードを$1$枚取り出すとき，カードに書かれた数の期待値．

(2)　この袋からカードを$2$枚取り出すとき，カードに書かれた数の合計の期待値．

(3)　最初に，この袋からカードを$2$枚取り出す．$2$枚のカードに書かれた数が異なる場合には，次にそのまま続けて$3$枚目のカードを取り出す．一方，初めに取り出したカードに書かれた数が同じ場合には，そのうちの$1$枚のカードを袋に戻した後に，$3$枚目のカードを取り出すこととする．このとき，袋に戻したカードも含めて，取り出した$3$枚のカードに書かれていた数の合計の期待値．

【４】　$2$次関数$f(x)={\displaystyle \frac{12}{5}}{x}^2-{\displaystyle \frac{32}{5}}x+4$と，$1$次関数$g(x)=2x-2$が与えられている．この$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$を用いて，$a\geqq 1$の範囲で$S(a)$を，以下のように定める．

$S(a)={\displaystyle {\int }_a^{a+1}}|f(x)-g(x)|dx$

このとき$S(a)$を求めなさい．