2011　群馬大学　前期

【１】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

(1)　$2^{2011}$は何桁の整数か．

(2)　$2^{2011}$の最高位の数を求めよ．ただし，最高位の数とは，たとえば$729$の場合は$7$を指す．

【２】　平面上で原点$\mathrm{O}$を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線を$l$とする．$\theta$を$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で動かすとき，点$\mathrm{A}(2,0)$から$l$へ下ろした垂線を$\mathrm{AG}\text{，}$点$\mathrm{B}(0,1)$から$l$へ下ろした垂線を$\mathrm{BH}$とし，折れ線の長さ$\mathrm{AG}+\mathrm{GH}+\mathrm{HB}$を$L$とする．ただし，$\theta =0$のときは$\mathrm{G}$は$\mathrm{A}$に等しく，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のときは$\mathrm{H}$は$\mathrm{B}$に等しいものとする．直線$l$の傾きは$0$以上とする．

(1)　$\mathrm{GH}=0$となるときの$\theta$の値を$\alpha$とするとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．

(2)　$L$の最小値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．

(3)　$L$の最大値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．

【３】　$2$つの関数$f(x)=x^3-x\text{，}g(x)=ax$がある．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)　$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．

(2)　$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があって，$l\overrightarrow{\mathrm{AP}}+m\overrightarrow{\mathrm{BP}}+n\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$を満たすとする．ただし，$l\text{，}m\text{，}n$は正の数とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を$1$とするとき，$\mathrm{▵BCP}\text{，}\mathrm{▵CAP}\text{，}\mathrm{▵ABP}$それぞれの面積を求めよ．

【５】(1)　$1365$と$1560$の最大公約数を求めよ．

(2)　$2$以上の整数$x\text{，}y\text{，}z$の組で$xyz=1365\text{，}3x\leqq 2y\leqq z$を満たすものをすべて求めよ．

【１】　斜辺の長さが$a\text{，}$面積が$b$である直角三角形が存在するとき，座標平面上の点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ．

【２】　数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$が$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\left({\displaystyle \sum _{m=1}^k}{m}^2\right)$と$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(n-(k-1))k^2$で定められるとき，$a_n=b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$となることを示せ．

【２】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．

(1)　点$\mathrm{A}(\sqrt{2},0)$から$C_1$に引いた接線の方程式を求めよ．

(2)　$C_1$上を動く点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{B}(1,0)$を結ぶ線分の中点の軌跡を$C_2$とするとき，$C_2$の方程式を求めよ．

【３】　$2$つの関数$f(x)=x^2-x\text{，}g(x)=ax$がある．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)　$y=f(x)$の極値を求め，グラフをかけ．

(2)　$y=|f(x)|$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　$\mathrm{▵ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があって，$3\overrightarrow{\mathrm{AP}}+4\overrightarrow{\mathrm{BP}}+5\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$を満たすとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

【１】　関数$f(x)=3\sin x-\sin 3x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$のグラフは直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に関して対称になることを示せ．

(2)　$0<x<\pi$のとき，$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【３】　直線$l\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}$上の点$\mathrm{P}$から曲線$y=x^2$にひいた$2$接線の接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とし，$\theta =\mathrm{\angle QPR}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし$\mathrm{P}$を$l$上動かす．$t\ne 0$のとき，$\tan \theta$を$t$の関数として表せ．

(2)　$\theta$の最大値を求め，このときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【５】　自然数$k$に対し，$a_k={\displaystyle \frac{(3k+1)(3k+2)}{3k(k+1)}}$で与えられる数列を考える．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を$n$の式で表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$から$b_1=a_1\text{，}{b}_2=a_2+a_3+a_4\text{，}{b}_3=a_5+a_6+a_7+a_8+a_9\text{，}\cdots$のように奇数個ずつの$a_k$の和をとり数列$\{b_k\}$を考えるとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k\geqq 675$となる最小の$n$の値を求めよ．