2011　宇都宮大学　前期

【１】　座標平面の$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$と$y$軸上を動く点$\mathrm{Q}$に対して次の操作を行う．

点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は原点$\mathrm{O}$を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形$\mathrm{OPQ}$について，次の問いに答えよ．

問１　この操作を$2$回続けたとき，$▵\mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となる確率を求めよ．

問２　この操作を$2$回続けたときの$▵\mathrm{OPQ}$の面積の期待値を求めよ．

問３　この操作を$3$回続けたとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積が整数になる確率を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$は$a_1=2\text{，}{a}_2=2$をみたすとする．$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とし，$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とする．数列$\{c_n\}$が$c_1=1$をみたす公差$3$の等差数列であるとき，次の問いに答えよ．

問１　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

問２　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

問３　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{AOB}=90\mathrm{°}$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{OC}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問３　$\mathrm{OA}<\mathrm{OB}$かつ$\mathrm{OC}=1$とする．$s=\left|\overrightarrow{a}\right|$とするとき，$▵\mathrm{OPE}$の面積を$s$を用いて表せ．

【４】　関数$f(x)$は$f(0)=b$をみたし，その導関数は

$f^{\prime }(x)=(x-1)(x-a)$

であるとする．ただし，$a$と$b$は定数である．このとき，次の問いに答えよ．

問１　曲線$y=f(x)$上の点$(0,b)$における接線の方程式を求めよ．

問２　$f(x)$を$x$の整式で表せ．

問３　$f(x)$の極大値が$40\text{，}$極小値が$4$であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．

【５】　座標平面上の直線$y=mx\text{（}m>0\text{）}$を$l$とする．点$(1,0)$を${\mathrm{P}}_1$とし，${\mathrm{P}}_1$から$l$に下ろした垂線の足を${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_1$から$x$軸に下ろした垂線の足を${\mathrm{P}}_2$とする．以下同様に${\mathrm{P}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$から$l$に下ろした垂線の足を${\mathrm{Q}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n$から$x$軸に下ろした垂線の足を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$▵{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積$S_1$を$m$を用いて表せ．

問２　$▵{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$の面積を$S_n$とするとき，級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$の和$S$を$m$を用いて表せ．

問３　問２における$S$が最大になる$m$と，そのときの$S$の値を求めよ．

【６】　曲線$C_1$は媒介変数$t$を用いて

$x=t-\sin t\text{，}y=1-\cos t\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$

と表されるとする．また，曲線$C_2$は

$x=t-\sin t\text{，}y=1+\cos t\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$

と表されるとする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$C_1$と$C_2$は直線$y=1$に関して対称であることを示せ．

問２　$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．

問３　$C_1$と$C_2$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育学部　【１】，【２】，【３】，【４】

工学部　【１】，【２】，【３】，【５】，【６】

農学部　【１】，【２】，【３】，【４】，【５】