2011　筑波大学　第２学期推薦理工学群工学システム学類

【１】　媒介変数$\theta \text{，}0\leqq \theta \leqq 2\pi$で表された$xy$平面上の曲線

$x=\theta -\sin \theta \text{，}y=1-\cos \theta$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線の傾きを調べ，概形を描け．

(2)　曲線の長さを求めよ．

(3)　曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{f_k\}\text{，}\{g_k\}\text{，}k=1\text{，}\cdots \text{，}n$が以下の不等式を満たすことを，数学的帰納法を用いて示せ．

${({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{f}_k{g}_k)}^2\leqq ({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{f_k}^2)({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{g_k}^2)$

(2)　(1)の結果を使って，以下の不等式が成り立つことを示せ．

${\{{\displaystyle {\int }_a^b}f(x)g(x)dx\}}^2\leqq ({\displaystyle {\int }_a^b}{\{f(x)\}}^{2}dx)({\displaystyle {\int }_a^b}{\{g(x)\}}^{2}dx)$

ただし，$f(x)\text{，}g(x)$は区間$[a,b]$で連続な関数とする．