2011　茨城大学　前期

【１】　四角形$\mathrm{ABCD}$に対して次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{0}$となる点とする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が交わり，その交点が(1)の点$\mathrm{P}$と一致するとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の形状を理由をつけて述べよ．

【２】　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(-1,5)\text{，}\mathrm{B}(2,-1)$とする．実数$a\text{，}b$について直線$y=(b-a)x-(3b+a)$が線分$\mathrm{AB}$と共有点をもつとする．点$\mathrm{P}(a,b)$の存在する領域を図示せよ．

【３】　$k=1\text{，}2$に対して放物線$y=x^2-kx+1$を$C_k$で表す．点$\mathrm{A}(1,1)$での$C_1$の接線に，点$\mathrm{A}$で直交している直線を$l$とし，$l$と$C_2$の交点のうち$x$座標が正となる点を$\mathrm{B}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$C_1\text{，}{C}_2$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)$は

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3-3x^2+2x& \text{（}x\leqq 2\text{のとき）}\\ x-2& \text{（}x>2\text{のとき）}\end{array}$

で定義されている．次の各問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフを描け．

(2)　$a\leqq x\leqq a+2$での$f(x)$の最大値が$f(a+2)$と等しくなるような実数$a$の範囲を求めよ．

【１】　$f(x)=e^{-x^2}\text{（}x\geqq 0\text{）}$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$x\geqq 0$に対して，不等式$e^x>x$および$e^x>{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$および$\underset{t\to +0}{\lim }t\log {\displaystyle \frac{1}{t}}=0$を示せ，

(3)　$f(x)$は減少関数であることを示せ．また，$y=f(x)$の逆関数$x=g(y)$を求めよ．

(4)　$a$を$0<a<1$を満たす実数とする．$y$軸，$y=f(x)$のグラフおよび直線$y=a$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．

(5)　(4)で求めた$V(a)$に対し$\underset{a\to +0}{\lim }V(a)$を求めよ．

【２】　水戸黄門，助さん，格さん，$\stackrel{\text{や}}{\text{弥}}$七，お銀，八兵衛の$6$人が左から右へこの順番で$1$列に並んで座っている．$6$人が席を入れ換える．どの並びかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき以下となる確率を求めよ．

(1)　助さんと格さんが両端に座る．

(2)　水戸黄門とお銀が隣どうしに座る．

(3)　最初と同じ席に座る人がちょうど$3$人．

(4)　最初と同じ席に座る人がいない．

【３】　点$\mathrm{A}$を$(-2,0)\text{，}$点$\mathrm{E}$を$(2,0)$とする．$3$つの点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}$を満たし，かつ，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$が直角に交わり，直線$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{DE}$が直角に交わる．点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の位置を調べるために，$\overrightarrow{\mathrm{BS}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$となるような点$\mathrm{S}$をとる．点$\mathrm{S}$の$y$座標を$s$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{AS}$と$\mathrm{ES}$の長さを比較し，点$\mathrm{S}$が満たす条件を求めよ．

(2)　点$\mathrm{B}$が直線$\mathrm{AS}$の上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SB}}$と点$\mathrm{B}$の座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点$\mathrm{B}$が描く図形は何か．

(3)　点$\mathrm{D}$が直線$\mathrm{ES}$の上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SD}}$と点$\mathrm{D}$の座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点$\mathrm{D}$が描く図形は何か．

(4)　(2)かつ(3)の場合に点$\mathrm{C}$の座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点$\mathrm{C}$が描く図形は何か．

(5)　(2)かつ(3)の場合で，$5$つの点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$が同一円周上にあるような点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の位置の組み合わせをすべて求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)　次の関数を微分せよ．

(ⅰ)　$y={\sin }^{2}2x$

(ⅱ)　$y=\log {\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(2)　次の不定積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}{(1+{\displaystyle \frac{2}{x}})}^{2}dx$

(ⅱ)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1}}dx$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^{\log 2}}{e}^{\left|x\right|}{e}^{x}dx$を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$は実数の定数で，$a>0\text{，}b\geqq 0$とする．実数$x\text{，}y$に関する条件$p\text{，}q\text{，}r$を次のように定める．

$p\text{：}{x}^2+y^2\leqq 1$

$q\text{：}{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq a^2$

$r\text{：}y\leqq \sqrt{b}x+c$

以下の各問に答えよ．

(1)　条件$q$が条件$p$であるための十分条件となるとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　条件$r$が条件$p$であるための必要条件となるとき，$b\text{，}c$が満たす条件を求め，それを$bc$平面に図示せよ．

【３】　$1$個のさいころを続けて$4$回投げて，出た目の数を順に$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とする．このとき，座標平面上の点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$を手順1.から手順4.で定める．

手順1.　原点$\mathrm{O}$から$x$軸の正の向きに$a$だけ移動した点を${\mathrm{P}}_1$とする．

手順2.　点${\mathrm{P}}_1$から$y$軸の正の向きに$b$だけ移動した点を${\mathrm{P}}_2$とする．

手順3.　点${\mathrm{P}}_2$から$x$軸の負の向きに$c$だけ移動した点を${\mathrm{P}}_3$とする．

手順4.　点${\mathrm{P}}_3$から$y$軸の負の向きに$d$だけ移動した点を${\mathrm{P}}_4$とする．

以下の各問に答えよ．

(1)　点${\mathrm{P}}_4$の座標を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表せ．

(2)　点${\mathrm{P}}_4$の座標が$(1,2)$である確率を求めよ．

(3)　$2$つの線分${\mathrm{OP}}_1$と${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$が共有点をもつ確率を求めよ．

【４】　$a$を実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$について，以下の各問に答えよ．

(1)　行列$E-A$が逆行列を持つかどうか調べよ．また，逆行列を持つ場合にはそれを求めよ．

(2)　$A^n$を求めよ（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）．

(3)　$S_n=E+A+A^2+A^3+\cdots +A^n$とおくとき，$S_n$を求めよ（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）．