2011　山形大学　前期

【１】　四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接しており，$\mathrm{\angle ABC}=120\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{3}-1$を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．ただし，$\mathrm{CD}=a\text{，}\mathrm{AD}=b$とおき，$2$つの対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　対角線$\mathrm{AC}$の長さと$\mathrm{\angle ACB}$の大きさを求めよ．

(2)　対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$が直交するとき，三角形$\mathrm{AOB}$と三角形$\mathrm{DOC}$は合同であることを示せ．

(3)　対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$が直交するとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(4)　$b=2a$のとき，$a$の値と，$\mathrm{\angle DCA}\text{，}\mathrm{\angle BAD}$の大きさを求めよ．

(5)　$b=2a$のとき，三角形$\mathrm{ABD}$に内接する円の半径$r$の値を求めよ．

【２】　袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数

$f(x)=x^2-mx+n$

を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$m$のとり得る値をすべて求めよ．

(2)　$m$と$n$のとり得る組み合わせ$(m,n)$をすべて求めよ．

(3)　$m$と$n$のとり得る組み合わせ$(m,n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．

(4)　不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．

(5)　方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha \text{，}\beta$をもち，同時に$\alpha <2$かつ$\beta <2$となる確率を求めよ．

（編注）2015年宇都宮大学教育・工・農学部一般入試前期日程で活用

【３】　正の定数$k$に対し，曲線$y=k{x}^2$を$C$とする．この曲線$C$を用いて，数列$\{a_n\}$を次のように定める．

(ⅰ)　$a_1>0$

(ⅱ)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，点${\mathrm{P}}_n(a_n,k{(a_n)}^2)$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．

このとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$C$上の点${\mathrm{P}}_1$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$a_2$を$a_1$で表せ．

(3)　$a_n$を$a_1$で表せ．

(4)　曲線$C\text{，}x$軸，直線$x=a_n\text{，}x=a_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．$S_n$を$a_1$で表せ．

(5)　$T_n=S_1+S_3+\cdots +S_{2n-1}$とする．$T_n$を$a_1$で表せ．

(6)　$U_n=S_2+S_4+\cdots +S_{2n}$とする．${\displaystyle \frac{U_n}{T_n}}$を求めよ．

【１】　座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,2,1)\text{，}\mathrm{B}(2,-1,2)$があり，点$\mathrm{P}(x,y,0)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を満たしながら動くものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を成分で表せ．

(2)　$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．

(3)　$x$と$y$が(2)の関係式を満たすとき，$2x-3y$の値の範囲を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{PAB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{\angle PAB}$の大きさを求めよ．

【３】　座標平面において，点$(2,0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．点$(1,0)$を通る直線$l_1$と円$C$との交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，点$(3,0)$を通る直線$l_2$と円$C$との交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．さらに，$l_1$と$l_2$は垂直に交わるとする．ただし，$l_2$は座標軸とは一致しない．$l_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$l_1$と$l_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ．

(2)　弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ．

(3)　弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ．

(4)　四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ．

【４】　媒介変数$t$を用いて，$x=t^2\text{，}y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a\text{（}a\ne 0\text{）}$に対して，点$(a^2,a^3)$における$C$の接線を$l_a$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$l_a$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$の$0\leqq t\leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t)\text{，}y=g(t)$の$\alpha \leqq t\leqq \beta$に対応する部分の長さは${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}dt$であたえられる．

(3)　曲線$C$と直線$l_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(4)　曲線$C$と直線$l_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【１】　関数$f(x)=x+\cos (2x)$がある．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)(\text{ただし，}0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の増減表を書け．増減表には，増減のほか，凹凸についても明示すること．

(4)　曲線$y=f(x)(\text{ただし，}0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のグラフを描け．

【２】　平面上の曲線$C$は媒介変数$t$を用いて，

$x=\cos t\text{，}y=a\sin t+b\cos t\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$

と表される．$a\text{，}b$は定数であり，$a>0$を満たす．

　以下の問に答えよ．

(1)　曲線$C$の方程式を$x\text{，}y\text{，}a\text{，}b$を用いて表し，$y$について解け．

(2)　曲線$C$が$x$軸，$y$軸と交わる点の座標を求めよ．

　定数$a\text{，}b$がそれぞれ$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$のとき，以下の問に答えよ．

(3)　$x\text{，}y$のそれぞれの最大値，最小値を求めよ．

(4)　曲線$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x<2\pi$のとき，方程式$6{\sin }^{2}x+5\cos x-2=0$を満たす$x$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,3,0)\text{，}\mathrm{C}(-1,1,0)\text{，}\mathrm{D}(1,1,-9)$がある．四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$7$で割ると$2$余り，$11$で割ると$3$余るような$300$以下の自然数をすべて求めよ．

【２】　$2$次の正方行列$A\text{，}B$と実数$p$が

$A+B=3E\text{，}pA-B=\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ -6& 3\end{array}\right)\text{，}AB=O$

を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(1)　$(p+1)A=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ -6& 6\end{array}\right)\text{，}(p+1)B=\left(\begin{array}{cc}3p& 3\\ 6& 3(p-1)\end{array}\right)$を示せ．

(2)　実数$p$の値と行列$A\text{，}B$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$A^{n+1}=3A^n$を示し，$A^n$を求めよ．

【３】　$xy$平面上に直線$l\text{：}y=(1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3}$と曲線$C\text{：}y=-x^2+3x$がある．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$と曲線$C$の交点の座標を求めよ．

(2)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq (1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3}\\ y\leqq -x^2+3x\end{array}$

の表す領域を$D$とする．

(ⅰ)　領域$D$を$xy$平面上に図示し，$D$の面積を求めよ．

(ⅱ)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，${\displaystyle \frac{y}{x}}$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$xy$平面上に曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$がある．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$における接線を$l$とし，原点$\mathrm{O}$から$l$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式は$y=-{\displaystyle \frac{1}{t^2}}x+{\displaystyle \frac{2}{t}}$であることを示せ．

(2)　点$\mathrm{H}$の座標は$({\displaystyle \frac{2t}{1+t^4}},{\displaystyle \frac{2t^3}{1+T^4}})$であることを示せ．

(3)　直線$l$と$y$軸のなす角を$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とし，線分$\mathrm{OH}$の長さを$d$とする．

(ⅰ)　$t^2\text{，}{d}^2$を$\theta$の式で表せ．

(ⅱ)　$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{d^2}{\theta }}$を求めよ．

【３】　座標平面上で原点を中心とする角$\theta$（ラジアン）の回転移動を表す行列を$R(\theta )$とする．また，$0<\theta <\pi (\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$となる$\theta$に対し，直線$y=(\tan \theta )x$に関する対象移動を表す行列を$A(\theta )$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　行列$X={R(\theta )}^{-1}A(\theta )R(\theta )$を求めよ．また，$s$に対して$XR(s)X=R(t)$を満たす$t$を求めよ．ただし，${R(\theta )}^{-1}$は$R(\theta )$の逆行列である．

(2)　$0<\alpha <\pi \text{，}0<\beta <\pi (\alpha \text{，}\beta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のとき，$A(\alpha )A(\beta )$を求めよ．

(3)　$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <\pi$のとき，$A(\alpha )A(\beta )=A(\beta )A(\alpha )$となるための必要十分条件を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(4)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で，点$(\tan \alpha ,\tan \beta )$が曲線$y={\displaystyle \frac{3x-1}{x+3}}$上にあるとき，次の$\text{①}\text{，}\text{②}$に答えよ．

$\text{①}$　$\tan (\alpha -\beta )$の値を求めよ．

$\text{②}$　$A(\alpha )A(\beta )$を求めよ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　自然数$p\text{，}q$を自然数$m$で割ったときの余りをそれぞれ$r\text{，}s$とする．このとき，$pq-rs$は$m$の倍数であることを示せ．

(2)　$n$が自然数のとき，$3^n$を$4$で割ったときの余りを求めよ．

(3)　$n$を自然数とし，$r$を実数とするとき，二項展開を利用して

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{}_{2n}C_{2k-1}\cdot r^{2k-1}$

を求めよ．

(4)　サイコロを$2n$回振り，出た目をすべて掛け合わせた数を$X_n$とする．使用するサイコロの目は$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$であり，どの目の出る確率も${\displaystyle \frac{1}{6}}$である．このとき，$X_n$を$4$で割ったときの余りが$3$である確率$P_n$を求めよ．