2011　秋田大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　グラフが$3$点$(-2,46)\text{，}(3,-4)\text{，}(5,4)$を通る$2$次関数$y=f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)の$2$次関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-2x+6$の$2$つの交点の座標を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}q$とする．ただし，$p<q$とする．$a$を定数とするとき，$2$次関数$y=-x^2+2ax+3-a^2$の$p\leqq x\leqq q$における最大値を求めよ．

【２】　大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a\text{，}b$とする．この$a\text{，}b$に対し，$f(x)=x^2-ax+b$とおく．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．

(ⅱ)　方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$r$である円に内接する$▵\mathrm{ABC}$について，$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:1$に内分する点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$r$と内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて${\left|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}^{\prime }}\right|}^2$を表せ．

(ⅱ)　$3$点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$を通る円の中心が点$\mathrm{O}$と一致するとき，$▵\mathrm{ABC}$が正三角形であることを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$g\text{，}m\text{，}n$を実数とし，$g=2^{\frac{702+m}{1200}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2^6}}{g}^{12}=2^{\frac{1200+n}{1200}}$とする．

$\text{①}$　$g^4=5$となる$m$を求めよ．ただし，${\log }_{2}5=2.32$として計算せよ．

$\text{①}$　$m$を用いて$n$を表せ．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{1200}}{2}^{\frac{1200+x}{1200}}dx$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=e^x$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　原点から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)の接線の接点を${\mathrm{P}}_1$とする．点${\mathrm{P}}_1$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を${\mathrm{A}}_1(a_1,0)$とする．このとき，点${\mathrm{A}}_1$から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の接線の接点を${\mathrm{P}}_2$とする．点${\mathrm{P}}_2$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を${\mathrm{A}}_2(a_2,0)$とする．このとき，点${\mathrm{A}}_2$から$y=f(x)$のグラフへ接線を引き，その接点を${\mathrm{P}}_3$とする．さらに，点${\mathrm{P}}_3$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を${\mathrm{A}}_3(a_3,0)$とする．このようにして，次々に$x$軸上の点${\mathrm{A}}_1(a_1,0)\text{，}{\mathrm{A}}_2(a_2,0)\text{，}{\mathrm{A}}_3(a_3,0)\text{，}\cdots$を得る．このとき，数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$の一般項$a_n$を推定し，その推定が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．

【３】　平面上の相異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{q}={\displaystyle \frac{-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{4}}$とする．また，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$であるような$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとる．$\left|\overrightarrow{p}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{q}\right|=1$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$のとき，内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(ⅱ)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線と，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線が直交するとき，内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．

(ⅲ)　$▵\mathrm{OAB}$の面積が最大になるとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$を求めよ．

【１】　大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a\text{，}b$とする．この$a\text{，}b$に対し，$f(x)=x^2-ax+b\text{，}g(x)=x^3-(a+b)x^2+(a+1)bx-b^2$とおく．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．

(ⅱ)　方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．

(ⅲ)　方程式$g(x)=0$が，異なる整数の解をちょうど$2$個もつ確率を求めよ．

【２】　円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=25$と円$C_2\text{：}{(x-10)}^2+{(y-5)}^2=50$の$2$つの交点と原点を通る円を$C_3$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　円$C_3$の中心と半径を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}(x,y)$が円$C_3$上を動くとき，$2y-x$の最大値を求めよ．

(ⅲ)　円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る円の中心の軌跡を求めよ．

(ⅳ)　円$C_1$と円$C_2$の$2$つの交点を通る円を$C$とする．点$\mathrm{Q}(x,y)$が円$C$上を動くとき，$2y-x$の最大値が最小となる円$C$の中心と半径を求めよ．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}-\sin 2x\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}-2\cos x$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数${\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2$の不定積分を求めよ．

(ⅱ)　すべての実数$x$に対して，不等式$\sin 2x\leqq a-2\cos x$が成り立つような定数$a$の中で最小の値を求めよ．

(ⅲ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|{\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2|dx$を求めよ．