2011　宮城教育大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\tan \alpha =a\text{，}\tan \beta =b(0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のとき，$\cos (2\alpha +\beta )$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$1$から$9$までの異なる整数が$1$つずつ書かれている$9$枚のカードがある．この中から$4$枚のカードを同時に取り出すとき，その$4$つの整数の和が奇数になる確率を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において

$\mathrm{OA}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\mathrm{OC}=2\text{，}$

$\angle \mathrm{AOB}=45\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{BOC}=60\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{COA}=45\mathrm{°}$

である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{F}$から平面$\mathrm{OBC}$におろした垂線と平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{OH}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=4x+{\displaystyle \frac{22}{3}}$がある．また関数$g(x)$は等式

$g(x)=x(x+2)+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}g(t)dt$

を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$g(x)$を求めよ．

(2)　直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．

(3)　曲線$y=g(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}\text{，}$直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点のうち$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}\text{，}$直線$y=f(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．また点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BC}$上にとり，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$y=g(x)$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

　このとき，線分$\mathrm{PQ}\text{，}$線分$\mathrm{PA}\text{，}$および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．