2011　東北大学　前期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　実数$x$に関する連立不等式

$\{\begin{array}{l}x\geqq -1\\ 2\cdot 3^x+a{3}^{-x}\leqq 1\end{array}$

が解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．

(2)　$x\geqq -1$を満たすすべての実数$x$に対し不等式

$3^x+a{3}^{-x}\geqq a$

が成り立つような実数$a$の範囲を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．動点$\mathrm{D}$は$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=x\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{（}x\geqq 1\text{）}$を満たすとし，直線$\mathrm{CD}$と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　実数$y$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=y\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定めるとき，次の等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=3$

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S\text{，}$三角形$\mathrm{ODE}$の面積を$T$とするとき，${\displaystyle \frac{S}{T}}$の最大値と，そのときの$x$を求めよ．

【３】　先生と$3$人の生徒$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がおり，玉の入った箱がある．箱の中には最初，赤玉$3$個，白玉$7$個，全部で$10$個の玉が入っている．先生がサイコロをふって，$1$の目が出たら$\mathrm{A}$が，$2$または$3$の目が出たら$\mathrm{B}$が，その他の目が出たら$\mathrm{C}$が箱の中から$1$つだけ玉を取り出す操作を行う．取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする．この操作を$2$回続けて行うものとして以下の問いに答えよ．

　ただし，サイコロの$1$から$6$の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．

(1)　$\mathrm{A}$が$2$個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{B}$が少なくとも$1$個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．

【４】　放物線$y=x^2$の$2$本の接線$l\text{，}m$は垂直であるとする．

(1)　$l$の接点の座標が$(a,a^2)$で与えられるとき，$l\text{，}m$の交点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$l\text{，}m$が$y$軸に関して対称なとき，$l\text{，}m$および放物線$y=x^2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　実数$a$に対し，不等式

$y\leqq 2ax-a^2+2a+2$

の表す座標平面上の領域を$D(a)$とおく．

(1)　$-1\leqq a\leqq 2$を満たすすべての$a$に対し$D(a)$の点となるような点$(p,q)$の範囲を求めよ．

(2)　$-1\leqq a\leqq 2$を満たすいずれかの$a$に対し$D(a)$の点となるような点$(p,q)$の範囲を求めよ．

【２】　$a$を実数とする．円$C$は点$(a,-a)$で直線$y=-x$を接線にもち，点$(0,1)$を通るものとする．$C$の中心を$\mathrm{P}(X,Y)$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$X\text{，}Y$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$が動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡と直線$y=1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　先生と$3$人の生徒$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がおり，玉の入った箱がある．箱の中には最初，赤玉$3$個，白玉$7$個，全部で$10$個の玉が入っている．先生がサイコロをふって，$1$の目が出たら$\mathrm{A}$が，$2$または$3$の目が出たら$\mathrm{B}$が，その他の目が出たら$\mathrm{C}$が箱の中から$1$つだけ玉を取り出す操作を行う．取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする．この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ．

　ただし，サイコロの$1$から$6$の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．

(1)　$2$回目の操作が終わったとき，$\mathrm{A}$が$2$個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．

(2)　$2$回目の操作が終わったとき，$\mathrm{B}$が少なくとも$1$個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．

(3)　$3$回目の操作で，$C$が赤玉を取り出す確率を求めよ．

【４】　平面上に長さ$3$の線分$\mathrm{OA}$を考え，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}$で表す．$0<t<1$を満たす実数$t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{a}$となるように点$\mathrm{P}$を定める．大きさ$2$のベクトル$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と角$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$をなすようにとり，点$\mathrm{B}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で定める．線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

　このとき，どのように$\theta$をとっても$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直にならないような$t$の値の範囲を求めよ．

【５】　$a$を実数，$z$を$0$でない複素数とする．$z$と共役な複素数を$\bar{z}$で表す．

(1)　次を満たす$z$を求めよ．

$z-1-{\displaystyle \frac{a}{z}}=0$

(2)　次を満たす$z$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

$\bar{z}+1-{\displaystyle \frac{a}{z}}=0$

(3)　次を満たす$z$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

$z{(\bar{z})}^2+\bar{z}-{\displaystyle \frac{a}{z}}=0$

【６】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 4& -1\end{array}\right)$

の表す$1$次変換を$f$とする．$f$による点$\mathrm{P}(1,1)$の像を${\mathrm{P}}_1$とする．正の整数$n$に対し，${\mathrm{P}}_n$の$f$による像を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．${\mathrm{P}}_n$が点$\mathrm{Q}(10,10)$に最も近くなるときの$n$の値を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部（保健学科看護学専攻）

理系　理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部