2011　岩手大学　前期

【１】　$x$の関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^x}(3t^2-6t-9)dt$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　積分を計算し，$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(-2)$の値を求めよ．

(3)　方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．

(4)　関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．

(5)　座標平面上の$2$点$(0,f(0))\text{，}(3,f(3))$を通る直線の方程式を求めよ．

(6)　$y=f(x)$のグラフの接線のうち，設問(5)で求めた直線と傾きが等しいものをすべて求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$に関する次の命題を証明せよ．

(ⅰ)　$n$を$3$で割った余りが$1$ならば，$n^2$を$3$で割った余りは$1$である．

(ⅱ)　$n$が$3$の倍数であることは，$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　$100$から$999$までの$3\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の自然数について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$3$種類の数字が現れるものは何個あるか．

(ⅱ)　$0$が現れないものは何個あるか．

(ⅲ)　$0$または$1$が現れるものは何個あるか．

【２】　以下の問いに答えよ．

(3)　$1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする．$U$の要素のうち，$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V\text{，}$また，$U$の要素のうち，偶数であるものの全体からなる集合を$W$とする．いま$A$と$B$は$U$の部分集合で，次の$2$つの条件を満たすものとする．

(ア)　$A\cup \bar{B}=V$

(イ)　$\bar{A}\cap \bar{B}=W$

このとき，集合$A$の要素をすべて求めよ．ただし，$\bar{A}$と$\bar{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする．

【３】　次の文章について，後の問いに答えよ．

　地球温暖化問題に関して，二酸化炭素の排出量の削減が叫ばれている．$2008$年に日本で開かれたサミットでは，$42$年後の$2050$年までに，年当たりの排出量を$2008$年のときと比較して$50\mathrm{\%}$以上削減する，という目標が提言された．この目標を達成するために，前年比同率で削減することを考える．

　$2008$年における排出量を$a\text{（}a>0\text{）}$とし，毎年，前年の$d\times 100\mathrm{\%}\text{（}0<d<1\text{）}$を減らすこととする．$2008$年の$1$年後の$2009$年の排出量の目標は$\boxed{\text{ア}}$である．$2008$年から$n$年後の年間排出量を$a_n$とおくと，$a_n=\boxed{\text{イ}}$である．目標を達成するには$a_{42}\leqq {\displaystyle \frac{a}{2}}\text{，}$つまり，$d$を用いた式で表せば，

$\boxed{\text{ウ}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$

が成り立てばよい．両辺の逆数をとれば${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}\geqq 2$となる．ところで，不等式

${(1+d)}^{42}<{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}\cdots \text{①}$

が成り立つことがわかる．従って，

${(1+d)}^{42}\geqq 2\cdots \text{②}$

を満たす$d$を見つければ目標を達成することは明らかである．不等式$\text{②}$の左辺は，二項定理により

${(1+d)}^{42}={\displaystyle \sum _{r=0}^{42}}\boxed{\text{エ}}$

と表される．これを用いると，$d=0.02$は不等式$\text{②}$を満たすことがわかる．つまり，毎年$2\mathrm{\%}$の削減を$2009$年から行ったとすれば，$42$年後の$2050$年の排出量は$2008$年の$50\mathrm{\%}$未満となることがわかった．

(1)　文章中の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$に当てはまる式を答えよ．

(2)　$0<d<1$とするとき，不等式$\text{①}$を証明せよ．

(3)　下線部の命題を証明せよ．

(4)　毎年$2\mathrm{\%}$の削減を行った場合でも，$42$年間の排出量の合計は，削減率を$0$のまま$2008$年と同じ排出量を同じ期間続けたときの排出量の合計の${\displaystyle \frac{7}{12}}$倍より大きくなることを証明せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4}\text{，}y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，${\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x\geqq 0$における最小値が$1$であるとき，$a$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$3:5$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$4$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{D}$が同一円周上にあるとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$を求めよ．

【２】　$1$から$12$までの自然数が$1$つずつ書かれた$12$個の玉が入っている袋がある．「この袋の中から無作為に玉を$1$個取り出し，その玉に書かれている自然数を記録してから袋の中に戻す」という操作を$5$回繰り返すとき，次の問いに答えよ．

(1)　記録された$5$つの数の中に，少なくとも$2$つ同じ数がある確率は，$60\mathrm{\%}$よりも大きいかどうか，判定せよ．

(2)　記録された$5$つの数の中に，少なくとも$3$つ同じ数がある確率を求めよ．

【３ア】　$\{a_n\}$は，初項$a_1=-1\text{，}$公差$d$の等差数列で，$\{b_n\}$は，初項$b_1=2011\text{，}$公比$r$の等比数列とする．ただし，$d\ne 0\text{，}r\ne 0$とする．これらの数列が

$a_n{b}_{n-1}+3b_n{a}_{n-1}-2b_{n-1}=0\text{（}n\geqq 2\text{）}$

を満たしているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$\left|b_n\right|<\left|a_n\right|$となる最小の$n$の値を求めよ．

【３イ】　三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{AB}$を$5:9$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．

$\mathrm{OA}=2\sqrt{2}\text{，}\mathrm{OB}=6\text{，}\mathrm{OC}=3$

であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{AOC}$の大きさを求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

【４カ】　$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=2x^2\text{，}{C}_2\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$

と$2$つの直線

$l_1\text{：}y=ax+t-1\text{，}{l}_2\text{：}y=bx+t$

があり，$l_1$は$C_1$に接し，$l_2$は$C_2$に接している．ただし，$a\text{，}b\text{，}t$は定数で，$a>0\text{，}b>0\text{，}0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．

(2)　$C_1\text{，}{l}_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2\text{，}{l}_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．

【４キ】　$x>0$で定義された関数$f(x)={\displaystyle \frac{{(\log x)}^2}{\sqrt{x}}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$2$直線$x=e\text{，}x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　複素数${\displaystyle \frac{2+i}{(1+3i)(4-i)}}$の虚部を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{6}{t^2+7t+10}}dt$について$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$30$階建てのビルの$11$階にある人物$\mathrm{A}$がいる．$\mathrm{A}$は硬貨を投げて，表が出れば$1$階上へ，裏が出れば$1$階下へ移動する．硬貨を$10$回投げた後，$\mathrm{A}$が$6$階より下の階にいる確率を求めよ．

【２】　座標空間内で$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．線分$\mathrm{AB}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OP}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{CP}$を$u:(1-u)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{H}$とし，点$\mathrm{R}$を通り線分$\mathrm{OP}$に垂直に交わる直線と線分$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{I}$とする．$\angle \mathrm{OQC}$と$\angle \mathrm{IQR}$が等しいとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{R}$の座標を$m\text{，}u$を用いて表せ．

(2)　$s$を$u$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{HR}}=a{\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}}+b{\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{HC}}\right|}}$と表すとき，この$a\text{，}b$を用いて$s\text{，}m$を表せ．

【３】　数列$\{a_n\}$が

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{(n^2+n)a_n}{n^2+n+a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$が$b_n={\displaystyle \frac{1-a_n}{a_n}}$で与えられるとき，$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3$の値を求めよ．

(2)　設問(1)における$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$の一般項，および$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　不等式

${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{a_k}{3k+1}}<{\displaystyle \frac{1}{18}}\log {\displaystyle \frac{9n^2}{8}}$

が成り立つことを示せ．ただし，$n\geqq 2$とする．

【４】　$2$つの関数$f(x)=\sqrt{x+1}\text{（}x\geqq -1\text{），}g(x)=x^2-1\text{（}x\geqq 0\text{）}$とし，$y=f(x)$と$y=g(x)$で表される曲線をそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の逆関数が$g(x)$であることを示せ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2\text{，}$および$2$直線$x=0\text{，}x=1$で囲まれた図形の面積が，設問(2)で求めた交点$\mathrm{P}$を通る直線により二等分されるとき，この直線の傾きを求めよ．

【５】　行列$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& 1& 2\end{array}\right)\text{，}Y=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$について，$A=XY$とする．行列$B=\left(\begin{array}{cc}2& r\\ t& s\end{array}\right)\text{，}P=(\begin{array}{cc}r& s\\ -1& -s\end{array})$が等式$AP=PB$を満たし，かつ$P$が逆行列をもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$r\text{，}s\text{，}t$は実数とする．

(1)　$A$を求めよ．

(2)　$B\text{，}P$を求めよ．

(3)　$n$を自然数とするとき，$A^n$を求めよ．

【５】　$x$と$y$は不等式

${\log }_{x}2-({\log }_{2}y)({\log }_{x}y)<4({\log }_{2}x-{\log }_{2}y)$

を満たすとする．このとき，$x\text{，}y$の組$(x,y)$の範囲を座標平面上に図示せよ．