2011　弘前大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，方程式

$2\sin 2\theta =\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$

を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　正四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とし，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{BD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．このとき$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$は同一平面上にあることを示し，さらに四角形$\mathrm{PQRS}$は正方形になることを示せ．

【２】　不等式

${\log }_{x}y\leqq {\log }_{y}x$

の表す領域を図示せよ．

【３】　曲線$y=x^3+4x^2-x$と曲線$y=x^2+3$の$3$つの交点を$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)\text{，}(x_3,y_3)$とおく．ただし，$x_1<x_2<x_3$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$2$点$(x_1,y_1)$と$(x_3,y_3)$を結ぶ直線を$L$とする．このとき，直線$L$と曲線$y=x^2+3$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．

(2)　曲線$y=x^2+3$上の$2$点$(x_1,y_1)\text{，}(x_3,y_3)$におけるこの曲線の接線をそれぞれ$L_1\text{，}{L}_2$とする．$2$直線$L_1$と$L_2$の交点を通り$y$軸に平行な直線を$L_0$とする．このとき，直線$L_0$は，(1)で求めた部分$D$の面積を二等分することを示せ．

【４】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\cos mx\cos nxdx$ただし，$m\text{，}n$は自然数である．

(2)　${\displaystyle {\int }_1^3}(x-{\displaystyle \frac{1}{x}}){(\log x)}^{2}dx$

【５】　$n$を自然数とし，

$S_n={\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}{e}^{-x}(|\sin x|+1)dx$

とする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$e^{-x}(\sin x+\cos x)$を微分せよ．

(2)　$S_n$および無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$の和を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　すべての実数$x$に対して，次の不等式を証明せよ．

$1-x^2\leqq e^{-x^2}\leqq 1$

(2)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2{e}^{-{\left(\frac{x}{n}\right)}^2}dx$を求めよ．

【７】　細長い長方形の紙があり，短い方の辺の長さが$a$で長い方が$9a$であったとする．右図のように，この長方形の$1$つの角（かど）を反対側の長い方の辺に接するように折る．図に示した$2$つの三角形$A\text{，}B$について，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$A$の面積の最大値を求めよ．

(2)　三角形$B$の面積の最小値を求めよ．

【８】　正$20$角形$P$について，次の問いに答えよ．

(1)　正$20$角形$P$の対角線は何本ひけるか．

(2)　正$20$角形$P$の頂点から$3$つを選び，これらを頂点とする三角形をつくるとき，$P$と辺を共有しない三角形はいくつあるか．ただし，合同な三角形は区別せずに$1$つと数えることにする．

【９】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が次の条件を満たしているものとする．

$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ \sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\end{array}\right)A\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\\ \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}\right)$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A$および$A^2$を求めよ．

(2)　$\mathrm{O}$を座標平面上の原点とし，$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$があり，他の$2$点$\mathrm{Q}(x_2,y_2)\text{，}\mathrm{R}(x_3,y_3)$に対して次の関係があるとする．

$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=A^3\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\end{array}\right)=A^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$

このとき，三角形$\mathrm{OQR}$が正三角形であることを証明せよ．

(3)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は(2)と同じものとする．$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．