2011　旭川医科大学　前期

【１】　$▵\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の$2$等辺三角形とする．$\mathrm{D}$を辺$\mathrm{BC}$上の点とし，$\mathrm{AD}$の延長線が$▵\mathrm{ABC}$の外接円と交わる点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}+\mathrm{CP}$であるとき，$▵\mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．

問２　${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{BP}}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{CP}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{DP}}}$であるとき，$▵\mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．

【２】　平面上に正三角形でない鋭角三角形$\mathrm{ABC}$が与えられている．辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とし，$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$とおく．さらに，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$をそれぞれ$s-c:s-b\text{，}s-a:s-c\text{，}s-b:s-a$に内分する点を$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする．次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{N}$を$\overrightarrow{\mathrm{ON}}={\displaystyle \frac{(s-a)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(s-b)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(s-c)\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{s}}$と定義するとき，$3$直線$\mathrm{AX}\text{，}\mathrm{BY}\text{，}\mathrm{CZ}$は$\mathrm{N}$で交わることを示せ．

問２　$\mathrm{P}$を$▵\mathrm{ABC}$の内部の点，$▵\mathrm{PBC}\text{，}▵\mathrm{PCA}\text{，}▵\mathrm{PAB}$の面積をそれぞれ$S_A\text{，}{S}_B\text{，}{S}_C$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{S_A\overrightarrow{\mathrm{OA}}+S_B\overrightarrow{\mathrm{OB}}+S_C\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{S_A+S_B+S_C}}$

と表される．このことを用いて，$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

問３　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{N}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{G}$を通る直線上にあるとき，$▵\mathrm{ABC}$は$2$等辺三角形であることを示せ．

【３】　曲線$y=e^{ax+b}\text{（}a\geqq 1\text{）}$と曲線$y=e^{-x}$が一点で交わり，交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする．次の問いに答えよ．

問１　交点の座標を$(x(a),y(a))$とおくとき，$b\text{，}x(a)\text{，}y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

問２　曲線$y=e^{ax-b}\text{（}a\geqq 1\text{）}$を$C(a)$で表す．曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき，

$\underset{a\to \infty }{\lim }(X(a)-x(a))$

を求めよ．

問３　$X(a)-x(a)$は$a\geqq 1$のとき単調減少であることを示せ．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}-\tan x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．次の問いに答えよ．

問１　$g(x)$を$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で連続で，$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$では$g(x)=f(x)$を満たす関数とする．

(a)　$g\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$を求めよ．

(b)　$g(x)$の増加，減少を調べよ．

(c)　${\displaystyle {\int }_0^x}g(t)dt$を求めよ．

問２　$n$を自然数とし，$c_n$を${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}-c_n}^{\frac{\pi }{2}}}g(t)dt={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}g(t)dt$を満たす$0$と${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の間の数とする．次の極限を求めよ．

(a)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n(1-\cos c_n)$

(b)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{c}_n$