2011　帯広畜産大学　前期総合問題

【１】　自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b\text{，}$公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．

問１　$d=2a\text{，}a\ne 0$とする．

(1)　$d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．

(2)　不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

問２　$r=2b+1\text{，}b\ne 0$とする．

(1)　$b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．

(2)　${\log }_2{b}_n>{\log }_2{b}_{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．

問３　$A$と$B$はいずれも$2\times 2$行列であり，それぞれ$A=\left(\begin{array}{cc}d& 2d-1\\ 1& d\end{array}\right)\text{，}B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立$1$次方程式を満たすものとする．

$A\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9\\ 1\end{array}\right)$

(1)　$d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．

(2)　$g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r\ne 1\text{，}r>0\text{，}n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．

【２】　次の各問に解答しなさい．

問１　円$x^2+y^{.2}=4$と放物線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(2+\sqrt{2})x^2+2$との共有点の個数とすべての共有点の座標を求めなさい．

問２　連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 4\\ (2+\sqrt{2})x^2+2y\geqq 4\end{array}$

の表す領域$R$を図示し，領域$R$の面積を求めなさい．

問３　$x^2+y^2\leqq 4$のとき，$(2+\sqrt{2})x^2+2y$の最大値と最小値を求めなさい．