2011　室蘭工業大学　前期

【１】　$x$の$2$次関数$f(x)$が条件

$f(0)=3\text{，}{f}^{\prime }(0)=-2\text{，}{f}^{\prime }(3)=4$

を満たすとする．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$に点$({\displaystyle \frac{3}{2}},0)$から$2$本の接線を引いたとき，それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$および(2)で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　正の整数$n$に対して，

$S_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{t}^n{e}^{-t}dt$

とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$S_{n+1}(x)$を$n\text{，}x$および$S_n(x)$を用いて表せ．

(2)　$m$を正の整数とする．$x>0$のとき，不等式$e^{\frac{x}{m+1}}>{\displaystyle \frac{x}{m+1}}$が成り立つことを示せ．また，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^m}{e^x}}=0$となることを示せ．

(3)　数学的帰納法を用いて，すべての正の整数$n$に対して，$\underset{x\to \infty }{\lim }{S}_n(x)=n!$となることを示せ．

【３】　数列$\{a_n\}$が次の条件を満たすとする．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{3^n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_n=2^n{a}_n$とおくとき，$b_{n+1}-b_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1\text{，}$かつ$\angle \mathrm{AOC}=120\mathrm{°}$であるとする．また，$s\text{，}t$を実数とし，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をそれぞれ

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

と定める．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$t$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$0$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．

(3)　(2)の条件のもとで，さらに点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{OB}$上にあるような$s$の値の範囲を求めよ．

【５】　$x\text{，}y$は実数で，$x+2y=3$を満たすとする．さらに，行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& -1\end{array}\right)$に対して等式$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=-2\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$が成り立つとする．

(1)　$x\text{，}y$の値を求めよ．

(2)　行列$P=\left(\begin{array}{cc}2& x\\ 1& y\end{array}\right)$は逆行列をもつことを示し，$P^{-1}AP$を求めよ．

(3)　正の整数$n$に対して，$A^n$を求めよ．