2011　大学入試センター試験　追試験　数学II・数学IIB

【１】

［１］　$u={\log }_2(6-x)\text{，}$$v={\log }_2(x-1)$とおく．$uv$の最大値を求めよう．

　真数は正であるから$\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}$である．

　$\boxed{\text{ア}}<x\leqq \boxed{\text{ウ}}$または$\boxed{\text{エ}}\leqq x<\boxed{\text{イ}}$のとき，$uv\leqq 0$であり，$\boxed{\text{ウ}}<x<\boxed{\text{エ}}$のとき，$u>0\text{，}v>0$である．

　よって，$uv$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}<x<\boxed{\text{エ}}$の範囲で考えればよい．

　このとき，相加平均と相乗平均の関係により

$\sqrt{uv}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(u+v)$$={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2(\boxed{\text{オ}}{x}^2+\boxed{\text{カ}}x-\boxed{\text{キ}})$$\cdots$(＊)

である．

　$x$の$2$次関数$\boxed{\text{オ}}{x}^2+\boxed{\text{カ}}x-\boxed{\text{キ}}$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$をとる．$\boxed{\text{ウ}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}<\boxed{\text{エ}}$であり，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$のとき，(＊)の不等式において等号が成り立つ．したがって，$uv$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$のときに最大値

${({\log }_2\boxed{\text{ス}}-\boxed{\text{セ}})}^{\boxed{\text{ソ}}}$

をとる．

　対数${\log }_{a}b$に対し，$a$を底といい，$b$を真数という．

【１】

［２］　${\displaystyle \frac{\pi }{8}}<\theta <{\displaystyle \frac{3}{8}}\pi$のとき

$\tan 4\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\tan \theta$$\cdots \text{①}$

を満たす$\theta$について考えよう．

　一般に，$\tan 2\theta$を$\tan \theta$を用いて表すと$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}\tan \theta }{\boxed{\text{チ}}-{\tan }^2\theta }}$である．さらに，$\tan 4\theta$を$\tan \theta$を用いて表すと

$\tan 4\theta ={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ツ}}{\tan }^3\theta +\boxed{\text{テ}}\tan \theta }{{\tan }^4\theta -\boxed{\text{ト}}{\tan }^2\theta +\boxed{\text{ナ}}}}\cdots \text{②}$

である．$\text{①}$，$\text{②}$から

${\displaystyle \frac{\tan \theta ({\tan }^4\theta +\boxed{\text{ニ}}{\tan }^2\theta -\boxed{\text{ヌ}})}{{\tan }^4\theta -\boxed{\text{ト}}{\tan }^2\theta +\boxed{\text{ナ}}}}=0\cdots \text{③}$

となる．

　$\theta$についての条件により$\tan \theta >0$であるので，$\text{③}$から

$\tan \theta =\sqrt{-\boxed{\text{ネ}}+\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}$

を得る．この$\theta$について，不等式$\boxed{\text{ヒ}}$が成り立つ．$\boxed{\text{ヒ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　${\displaystyle \frac{\pi }{8}}<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$
• $\overline{)\text{1}}$　${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$



• $\overline{)\text{2}}$　${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
• $\overline{)\text{3}}$　${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta <{\displaystyle \frac{3}{8}}\pi$

【２】　$k$を実数とし，$P(x)=x^3-(k+20)x-2k$とする．

(1)　$3$次方程式$P(x)=0$がただ一つの実数解$\alpha$をもつとき，$k$と$\alpha$のとり得る値の範囲を求めよう．

　座標平面上で，曲線$y=x^3-20x$を$C\text{，}$直線$y=k(x+2)$を$l$とする．はじめに，直線$l$が$C$と接するような$k$の値を求める．直線$l$は$k$の値によらずに定点$\mathrm{A}(\boxed{\text{アイ}},\boxed{\text{ウ}})$を通る．一方，$C$上の点$(t,t^3-20t)$における曲線$C$の接線の方程式は

$y=(\boxed{\text{エ}}{t}^2-\boxed{\text{オカ}})x-\boxed{\text{キ}}{t}^3$

である．この接線が$\mathrm{A}$を通るとすると$t=\boxed{\text{ク}}$である．したがって，$\mathrm{A}$から曲線$C$に引いた接線の方程式は

$y=\boxed{\text{ケコ}}x-\boxed{\text{サシ}}$

であり，このときの$k$の値は$\boxed{\text{ケコ}}$である．また，この接線と$C$との共有点の$x$座標は

$x=\boxed{\text{スセ}}\text{，}$$\boxed{\text{ソ}}$

である．

　方程式$P(x)=0$の実数解は曲線$C$と直線$l$との共有点の$x$座標である．したがって，この方程式がただ一つの実数解をもつときの$k$のとり得る値の範囲は

$k<\boxed{\text{タチ}}$

であり，その実数解$\alpha$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{ツテ}}<\alpha <\boxed{\text{トナ}}$

である．

(2)　$2$曲線$y=P(x)\text{，}$$y=x^3-k{x}^2-20x$と$2$直線$x=1\text{，}$$x=2$で囲まれた図形の面積が$1$となるとき

$k=\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．

【３】　座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C\text{，}$直線$y=-2x+4$の$x>0$の部分を$l$とする．

　なお，一般に円の外部の点$\mathrm{X}$からその円に$2$本の接線を引くとき，$\mathrm{X}$から二つの接点までの距離は等しい，その距離を$\mathrm{X}$からその円に引いた接線の長さという．

(1)　半直線$l$上の点$\mathrm{A}$から円$C$に引いた接線のうちの$1$本が$y$軸に平行であるとする．$\mathrm{A}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．また，$\mathrm{A}$から$C$に引いたもう$1$本の接線$m$の傾きは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$であり，$m$と$C$との接点の座標は$(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}})$である．

(2)　半直線$l$上の点$\mathrm{B}(a,-2a+4)$から$C$に引いた接線の長さは

$\sqrt{\boxed{\text{ケ}}{a}^2-\boxed{\text{コサ}}a+\boxed{\text{シス}}}$

である．この根号内の$a$に関する$2$次関数は，$a>0$の範囲で，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$において最小値をとる．よって，半直線$l$上の点$\mathrm{B}$から$C$に引いた接線の長さの最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．また，そのときの$\mathrm{B}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ソ}}}})$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

【４】　実数$a$について，$x$の$2$次方程式

$x^2-(a-1)x+4=0$

が虚数解をもつ条件は，$\boxed{\text{アイ}}<a<\boxed{\text{ウ}}$である．

　$a=\sqrt{5}$のときの方程式

$x^2-(\sqrt{5}-1)x+4=0$$\cdots \text{①}$

の解を$\alpha \text{，}$$\beta$とすると

${\alpha }^2+{\beta }^2=\boxed{\text{エオ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}-\boxed{\text{キ}}$

${\alpha }^2{\beta }^2=\boxed{\text{クケ}}$

である．したがって，${\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{2}}$と${\displaystyle \frac{{\beta }^2}{2}}$を解とする$2$次方程式の一つは

$x^2+(\sqrt{\boxed{\text{コ}}}+\boxed{\text{サ}})x+\boxed{\text{シ}}=0$$\cdots \text{②}$

となる．

　$\text{①}\text{，}$$\text{②}$の左辺をそれぞれ$P(x)\text{，}$$Q(x)$とする．

$P(x)Q(x)=x^4+2x^3+\boxed{\text{ス}}{x}^2$$+\boxed{\text{セ}}x+\boxed{\text{ソタ}}$

であるから

$(x-\boxed{\text{チ}})P(x)Q(x)=x^5-\boxed{\text{ツテ}}$

となる．したがって，${\alpha }^5={\beta }^5=\boxed{\text{トナ}}$である．

　$x^5-\boxed{\text{ツテ}}$を$2x-{\alpha }^2$で割った余りは$\boxed{\text{ニ}}$で，$x-{\alpha }^2$で割った余りは$\boxed{\text{ヌネノ}}$である．

【３】　数列$\{a_n\}$は，漸化式

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$a_n+a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

$S_3=a_1+(a_2+a_3)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

$S_4=(a_1+a_2)+(a_3+a_4)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．自然数$m$に対して，$S_{2m}={\displaystyle \sum _{k=1}^m}(a_{2k-1}+a_{2k})$と表されるので

$\begin{array}{ll}{S}_{2m}& ={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オ}}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^m}({\displaystyle \frac{1}{2k-\boxed{\text{カ}}}}-{\displaystyle \frac{1}{2k+\boxed{\text{キ}}}})\\ & ={\displaystyle \frac{m}{\boxed{\text{ク}}m+\boxed{\text{ケ}}}}\end{array}$

であり，同様に，$S_{2m+1}=a_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^m}(a_{2k}+a_{2k+1})$と表されるので

$\begin{array}{ll}{S}_{2m+1}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{コ}}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^m}({\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+\boxed{\text{サ}}}})\\ & ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}m+2}{\boxed{\text{ス}}(m+\boxed{\text{セ}})}}\hfill \end{array}$

である．

　したがって，自然数$m$に対して

$\begin{array}{rl}\hfill a_{2m}& ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}{m}^{\boxed{\text{チ}}}-m+\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}m(\boxed{\text{ク}}m+\boxed{\text{ケ}})}}\hfill \\ a_{2m+1}& ={\displaystyle \frac{2m^{\boxed{\text{チ}}}+3m+2}{\boxed{\text{テ}}(m+\boxed{\text{セ}})(\boxed{\text{ク}}m+\boxed{\text{ケ}})}}\end{array}$

である．以上のことから，$2$以上の自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ト}}n(n+\boxed{\text{ナ}})}}$$+{\displaystyle \frac{{(-\boxed{\text{ニ}})}^{n+1}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$$\cdots$(＊)

である．$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるから，(＊)は$n=1$のときにも成り立つので，(＊)はすべての自然数$n$に対して成り立つ．

【４】　四面体$\mathrm{OPQR}$において，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の点$\mathrm{O}$を基準とする位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{r}$とおく．$\mathrm{OP}=4\text{，}$$\mathrm{OQ}=3\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{OR}=2\sqrt{7}$であり，$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{p}=12$であるとする．

　辺$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{X}$を，直線$\mathrm{QX}$と辺$\mathrm{OP}$が垂直であるようにとり，辺$\mathrm{OQ}$上の点$\mathrm{Y}$を，直線$\mathrm{PY}$と辺$\mathrm{OQ}$が垂直であるようにとる．

(1)　実数$a$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=a\overrightarrow{p}$と表す．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{QX}}=\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$である．直線$\mathrm{QX}$と辺$\mathrm{OP}$が垂直であるから，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{RX}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{エ}}$である．同様に$\overrightarrow{\mathrm{OY}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\overrightarrow{q}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{RY}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{キ}}$である．

(2)　直線$\mathrm{QX}$と直線$\mathrm{PY}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\overrightarrow{p}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\overrightarrow{q}$

である．辺$\mathrm{OR}$上に点$\mathrm{Z}$をとり，実数$s$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OZ}}=s\overrightarrow{r}$と表す．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{Z}$の定める平面を$\alpha$とし，直線$\mathrm{HR}$と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{K}$とする．実数$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{HK}}=t\overrightarrow{\mathrm{HR}}$と表す．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=(\boxed{\text{シ}}-t)({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\overrightarrow{p}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\overrightarrow{q})+t\overrightarrow{r}$

である．一方，$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$は実数$k\text{，}$$l$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+k\overrightarrow{\mathrm{PZ}}+l\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$とも表される．これらから，$t={\displaystyle \frac{s}{\boxed{\text{ス}}-\boxed{\text{セ}}s}}$である．

　直線$\mathrm{PZ}$と辺$\mathrm{OR}$が垂直であるとき，$s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$であり，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

【５】　異なる町に住む$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんは，それぞれの住む町の一日の最低気温と最高気温について，公表されている観測データを$8$月$1$日から$8$月$10$日まで調べて資料を作成した．$\mathrm{A}$さんは最低気温の低い順に観測日ごとに最低気温と最高気温を並べた資料を作成したのに対して，$\mathrm{B}$さんは最低気温と最高気温をそれぞれ低い順に並べた資料を作成した．その際，$\mathrm{B}$さんの資料では最高気温と最低気温の観測日の対応は完全にわからなくなった．

　公表されている観測データはすべて小数第$1$位まで与えられている．また，最低気温を変量$x\text{，}$最高気温を変量$y$で表すものとする．

• $\mathrm{A}$さんの資料

  最低気温$x(°\mathrm{C})$	最高気温$y(°\mathrm{C})$
  $22.3$	$\mathrm{D}$
  $22.5$	$34.8$
  $22.7$	$32.6$
  $23.0$	$28.4$
  $23.3$	$33.6$
  $23.5$	$31.0$
  $23.6$	$31.4$
  $23.7$	$33.1$
  $24.1$	$29.2$
  $24.3$	$\mathrm{E}$

• $\mathrm{B}$さんの資料

  最低気温$x(°\mathrm{C})$ $22.3$ $22.5$ $22.6$ $23.2$ $23.3$ $23.4$ $23.5$ $23.7$ $24.2$ $24.3$

  最高気温$y(°\mathrm{C})$ $27.0$ $28.4$ $30.6$ $30.8$ $31.0$ $31.4$ $32.2$ $32.6$ $33.0$ $33.4$

　以下，小数の形で解答する場合，指定された$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ．途中で割り切れた場合，指定された桁まで$\overline{)\text{0}}$にマークすること．

(1)　$u=x-22.0$により定義される変量$u$を考えるとき，$\mathrm{A}$さんの資料について変量$u$の平均値は$\boxed{\text{ア}}.\boxed{\text{イウ}}$である．したがって，$\mathrm{A}$さんの資料の最低気温の平均値は$\boxed{\text{エオ}}.\boxed{\text{カキ}}°\mathrm{C}$である．

(2)　$\mathrm{A}$さんの資料と$\mathrm{B}$さんの資料は同一の数値を多く含んでおり，最低気温には$\boxed{\text{ク}}$組の同一の数値が含まれている．

　$\mathrm{B}$さんの資料の最低気温の平均値は，$\mathrm{A}$さんの資料の最低気温の平均値$\boxed{\text{エオ}}.\boxed{\text{カキ}}°\mathrm{C}$に等しく，$\mathrm{A}$さんの資料の最低気温の分散は$\mathrm{B}$さんの資料の最低気温の分散$\boxed{\text{ケ}}$なる．$\boxed{\text{ケ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　より小さく
• $\overline{)\text{1}}$　と等しく
• $\overline{)\text{2}}$　より大きく

(3)　$\mathrm{A}$ さんの資料において，最高気温の平均値は$31.20°\mathrm{C}$ であり，最低気温と最高気温の相関係数はちょうど$0$ であった．このとき，$\mathrm{D}$と$\mathrm{E}$の値を求めよう．

　まず，平均値の関係から$\mathrm{E}-\mathrm{D}=\boxed{\text{コサ}}.\boxed{\text{シ}}$ が得られ，さらに相関係数の関係から$\mathrm{E}-\mathrm{D}=\boxed{\text{ス}}.\boxed{\text{セ}}$ が得られる．したがって，$\mathrm{D}$と$\mathrm{E}$の値はそれぞれ$\boxed{\text{ソタ}}.\boxed{\text{チ}}°\mathrm{C}$と$\boxed{\text{ツテ}}.\boxed{\text{ト}}°\mathrm{C}$となる．

(4)　$w=y-x$とする．$\mathrm{A}$さんの資料において，$w$は一日の気温差を表す変量となる．$\mathrm{A}$さんの資料において，変量$x$と変量$w$の相関図（散布図）は$\boxed{\text{ナ}}$であり，変量$y$と変量$w$ の相関図は$\boxed{\text{ニ}}$である．$\boxed{\text{ナ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

$\boxed{\text{ニ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

(5)　$\mathrm{A}$さんの資料において，最低気温，最高気温および一日の気温差の間について，$\boxed{\text{ヌ}}$ことがわかる．$\boxed{\text{ヌ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　最低気温の分散は最高気温の分散より大きい

$\overline{)\text{1}}$　最低気温が高いほど最高気温も高いという傾向がある

$\overline{)\text{2}}$　最低気温が高いほど一日の気温差が大きいという傾向がある

$\overline{)\text{4}}$　最高気温が高いほど一日の気温差が大きいという傾向がある

(6)　$\mathrm{A}$さんの資料で分析できることがらのうちで，$\boxed{\text{ネ}}$については$\mathrm{B}$さんの資料でも分析できる．$\boxed{\text{ネ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　最低気温の分散と最高気温の分散の比較

$\overline{)\text{1}}$　最低気温と最高気温の相関関係

$\overline{)\text{2}}$　最低気温と一日の気温差の相関関係

$\overline{)\text{3}}$　最高気温と一日の気温差の相関関係

【６】　$N$を$2$以上の自然数とする．$N$の正の約数の個数を求めるため，以下のような〔プログラム１〕を作成した．ただし，INT (X) は X を越えない最大の整数を表す関数である．

(1)　〔プログラム１〕の$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちからそれぞれ一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　PRINT C
• $\overline{)\text{1}}$　LET K = K+1
• $\overline{)\text{2}}$　GOTO 150
• $\overline{)\text{3}}$　PRINT K
• $\overline{)\text{4}}$　NEXT K
• $\overline{)\text{5}}$　LET C = C+1

　〔プログラム１〕の$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　C-1
• $\overline{)\text{1}}$　C
• $\overline{)\text{2}}$　C+1
• $\overline{)\text{3}}$　2*C
• $\overline{)\text{4}}$　C/3
• $\overline{)\text{5}}$　C/2

　〔プログラム１〕を実行して， N に 80 を入力すると，130 行の$\boxed{\text{ア}}$は$\boxed{\text{エ}}$回実行される．

(2)　$N$を$2$以上の自然数とする．$N$自身を除く$N$の正の約数の総和が$N$より大きいとき，$N$を「過剰数」という．

　最小の過剰数は$\boxed{\text{オカ}}$である．

　$M$を$2$以上の自然数とする．〔プログラム１〕を変更し，$2$以上$M$以下の過剰数がいくつあるかを出力する〔プログラム２〕を作成する．そのために，まず，〔プログラム１〕の 100 行を次の三つの行で置き換える．

100 INPUT M

101 LET D = 0

102 $\boxed{\text{キ}}$

　次に，130 行の$\boxed{\text{ア}}$を$\boxed{\text{ク}}$に置き換える．

　最後に，150 行を次の三つの行に置き換える．

150 IF $\boxed{\text{ケ}}$ THEN $\boxed{\text{コ}}$

151 NEXT N

152 PRINT M; " 以下の過剰数の個数は " ;D; " である "

　$\boxed{\text{キ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　LET N = 1
• $\overline{)\text{1}}$　LET M = N
• $\overline{)\text{2}}$　LET N = N+1
• $\overline{)\text{3}}$　FOR N = 2 TO M
• $\overline{)\text{4}}$　FOR M = 1 TO N
• $\overline{)\text{5}}$　FOR N = 2 TO M-1

　$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　LET C = C+1
• $\overline{)\text{1}}$　GOTO 150
• $\overline{)\text{2}}$　LET C = C+N
• $\overline{)\text{3}}$　LET C = C+K
• $\overline{)\text{4}}$　NEXT M
• $\overline{)\text{5}}$　LET C = C+M

　$\boxed{\text{ケ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　K < N
• $\overline{)\text{1}}$　K >= N
• $\overline{)\text{2}}$　C > N
• $\overline{)\text{3}}$　C = C+K
• $\overline{)\text{4}}$　C = C-1
• $\overline{)\text{5}}$　C > C+N

　$\boxed{\text{コ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　LET C = C+K
• $\overline{)\text{1}}$　GOTO 102
• $\overline{)\text{2}}$　GOTO 152
• $\overline{)\text{3}}$　NEXT D
• $\overline{)\text{4}}$　PRINT N
• $\overline{)\text{5}}$　LET D = D+1

　〔プログラム２〕を実行して，M に自然数$m$を入力したとき，152 行で出力された D の値が 3 であったとする．このとき，$m$に当てはまる最小の自然数は$\boxed{\text{サシ}}$であり，最大の自然数は$\boxed{\text{スセ}}$である．