2010　長崎県立大学　後期経済学部MathJax

【１】　次の問に答えなさい．

(1)　年利率$1\mathrm{\%}\text{，}$$1$年複利で$100$万円借りたとき，以下の問に答えなさい．

(ⅰ)　$x$年後の元利合計を$G_x$とするとき，$G_x$を式で表しなさい．

(ⅱ)　元利合計が初めて$600$万円を超えるのは何年後か求めなさい．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}1.01=0.0043$とする．

【１】　次の問に答えなさい．

(2)　以下の問に答えなさい．

(ⅰ)　$\mathrm{▵ABC}$において，$b=3\sqrt{3}\text{，}$$c=3\text{，}$$C=30\mathrm{°}$のとき，$a\text{，}$$A\text{，}$$B$を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(3)　${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1+\cos 2\theta }{2}}$が成り立つことを示しなさい．

【２】　$f(x)=-x^2+2x\text{，}$$g(x)=x^2-4x$について，次の問に答えなさい．

(1)　$f(x)$および$g(x)$によって囲まれる図形の面積を求めなさい．

(2)　原点における$f(x)$の接線を$l$とするとき，直線の方程式を求めなさい．

(3)　原点における$g(x)$の接線を$l_2$とする．直線$l_2$と$x$軸の正の方向とのなす角を$\alpha$とするとき，$\tan \alpha$を求めなさい．

(4)　直線$l_1$と直線$l_2$とのなす角を$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，$\tan \theta$を求めなさい．

【３】　$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OADB}‐\mathrm{CEFG}$において辺$\mathrm{CE}$を$k:1-k$$\text{（}0<k<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{OC}$の延長の交点を$\mathrm{S}$とする．また線分$\mathrm{BS}\text{，}$線分$\mathrm{DS}$が面$\mathrm{CEFG}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の$\text{①}\text{〜}$$\text{⑩}$に適するものを答えなさい．

(1)　$k$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いると$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{①}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\boxed{\text{②}}$と表され，$\mathrm{OC}:\mathrm{CS}=1:\boxed{\text{③}}$となる．

(2)　同様に$k$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いると$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{④}}\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{QA}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{QB}}\right|}^2=\boxed{\text{⑤}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{QA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{QB}}=\boxed{\text{⑥}}$と表される．これより$\mathrm{▵ABQ}$の面積は$k=\boxed{\text{⑦}}$のときに最小値$\boxed{\text{⑧}}$をとり，さらにこのとき$\cos \mathrm{\angle AQB}$の値は$\boxed{\text{⑨}}$となる．

(3)　四角すい$S‐\mathrm{CPQR}$の体積が$k^2$となるのは$k=\boxed{\text{⑩}}$のときである．

【４】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=3a_n+n^2-2n-5$で与えられるとき，次の問に答えなさい．

(1)　$a_1$と数列$\{a_n\}$の満たす漸化式を求めなさい．

(2)　$b_n=a_n-2n$と定めたとき，数列$\{b_n\}$の満たす漸化式を求めなさい．

(3)　一般項$a_n$を求めなさい．

(4)　$S_n<n^2$を満たす最小の自然数$n$を求めなさい．

【５】　次の問に答えなさい．

(1)　連続する$2$つの整数の積は$2$の倍数となることを示しなさい．

(2)　連続する$3$つの整数の積は$6$の倍数となることを示しなさい．

(3)　整数$n$に対して，$2n^3+9n^2+13n$は$6$の倍数となることを示しなさい．