2008　岐阜大学　後期MathJax

【１】　$p\text{，}$$q$を整数とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}p& -2\\ -3& q\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}p& -2\\ 0& q\end{array}\right)$の表す移動を，それぞれ$f\text{，}$$g$とする．$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{R}(4,3)\text{，}$$\mathrm{S}(4,0)$をとり，${\mathrm{R}}^{\prime }$を$f$による$\mathrm{R}$の像，${\mathrm{S}}^{\prime }$を$g$による$\mathrm{S}$の像とする．$\mathrm{▵ORS}$と$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{R}}^{\prime }{\mathrm{S}}^{\prime }$の面積が等しくなるような$A$をすべて求めよ．

【２】　$0<\theta <\pi$とする．座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{，}$$\mathrm{Q}(\cos \theta ,0,\sin \theta )$をとり，$\mathrm{▵APQ}$の面積を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$S$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$の値が変化するとき，$S$の最大値と，そのときの $\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を$f(x)=e^{-x^2}$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$を微分せよ．

(2)　$2$つの定積分${\displaystyle {\int }_0^1}xf(x)\mathit{dx}$と${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{3}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対し，

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{2n-1}f(x)\mathit{dx}$

とおく．$I_{n+1}$を$I_n$を用いて表せ．

【４】　$a\ne 0$を実数とする．$2$つの放物線$y=a{x}^2+2x+1$と$y=-x^2+ax+1$について，以下の問に答えよ．

(1)　これら$2$つの放物線が$1$点だけを共有するときに，$a$の値をすべて求めよ．

(2)　$a>0$とする．これら$2$つの放物線が相異なる$2$点で変わる場合の$a$の満たす条件を求めよ．そして，これら$2$つの放物線で囲まれる部分の面積を求めよ．

【５】　サイコロ$3$個を同時に振って出た$3$つの目の積を求める．求めた数の$1$の位の数字によって，以下の表で示された点数が得られるゲームがある．以下の問に答えよ．

(1)　$1$回のゲームで$5$点が得られる確率を求めよ．

(2)　$1$回のゲームで$1$点が得られる確率を求めよ．

(3)　$1$回のゲームで得られる点数の期待値を求めよ．

(4)　このゲームを$2$回繰り返す．$1$回目のゲームで得られる点数と$2$回目のゲームで得られる点数の合計が$2$点以上になる確率を求めよ．