2007　鳥取大学　前期MathJax

(1)　線分$\mathrm{BX}$および$\mathrm{CX}$の長さを$a\text{，}$$m\text{，}$$n$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{\angle AXC}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$p\text{，}$$a\text{，}$$b\text{，}$$m\text{，}$$n$を用いて表せ．

(3)　等式

$p^2+{\displaystyle \frac{mn}{{(m+n)}^2}}{a}^2$$={\displaystyle \frac{m}{m+n}}{b}^2+{\displaystyle \frac{n}{m+n}}{c}^2$

が成り立つことを示せ．

(4)　$a=7\text{，}$$b=6\text{，}$$c=5$とし，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{BR}$の長さを求めよ．

$(x(t),y(t))=({\displaystyle \frac{e^l+e^{-t}}{2}},{\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}})$

で与えられるとき，次の問いに答えよ．

(1)　時刻$t$における速度ベクトル$\overrightarrow{v}(t)$および加速度ベクトル$\overrightarrow{\alpha }(t)$を求めよ．

(2)　時刻$t$における速度ベクトル$\overrightarrow{v}(t)$と加速度ベクトル$\overrightarrow{\alpha }(t)$のなす角を$\theta (t)$とするとき，$\cos \theta (t)$を求めよ．

(3)　$\theta (t)$を(2)の通りとするとき，${\displaystyle {\int }_0^1}\cos \theta (t)\mathit{dt}$を求めよ．

(1)　関数$f(x)$および$g(x)$の導関数を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)-g(x)$のグラフをかけ．

(3)　曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

(4)　曲線$y=g(x)$と$y$軸および直線$y=2$とで囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

(1)　正の解と負の解をもつ．

(2)　異なる$2$つの負の解をもつ．

(3)　すべての解が$1$より大きい．

【４B】　$1$から$n$までの数が$1$つずつ書かれた$n$枚のカードを，右図のように円周上に時計まわりに並べる．$2$が書かれたカードから始めて，時計まわりに$1$枚おきにカードを取り除く操作を続けていき，カードが最後の$1$枚になるまで円周上を何回でもまわる．そして残った$1$枚のカードに書かれた数を$f(n)$とする．ただし，$1$枚おきに取り除く操作は，まだ円周上に残っているカードに対して行う．

　たとえば，$n=9$のときには，

$2\text{，}$$4\text{，}$$6\text{，}$$8\text{，}$$1\text{，}$$5\text{，}$$9\text{，}$$7$

の数が書かれたカードが順に取り除かれるので$f(9)=3$である．

　また，$n=10$のときには，

$2\text{，}$$4\text{，}$$6\text{，}$$8\text{，}$$10\text{，}$$3\text{，}$$7\text{，}$$1\text{，}$$9$

の数が書かれたカードが順に取り除かれるので$f(10)=5$である．

　このとき，次の問いに答えよ．ただし，$f(1)=1$とする．

(1)　$2$から$8$までの$n$に対して$f(n)$の値を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して

$f(2n)=2f(n)-1$

$f(2n+1)=2f(n)+1$

が成り立つことを示せ．

(3)　自然数$n$に対して

$f(2^n)=1$

が成り立つことを示せ．

(4)　$f(2^{10}+2^9+\cdots +2+1)$の値を求めよ．