2007　岐阜大学　後期MathJax

【１】次の［1］，［2］に答えよ．

［1］$xy$平面上において，次の曲線$C_1\text{，}$$C_2$を考える．

$C_1\text{：}y=x^3+x^2-6x+3$

$C_2\text{：}y=x^2+x-3$

(1)　曲線$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【１】次の［1］，［2］に答えよ．

［2］実数$x$の関数$f(x)=2^{3x}+2^{-3x}-3(2^{2x}+2^{-2x})\mathrm{+}5$の最小値を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　$n$を正の整数とする．$2n$より小さいすべての正の整数$k$に対して，$k(2n-k)\leqq n^2$が成り立ち，等号が成り立つのは$k=n$の場合に限ることを証明せよ．

(2)　$2$以上のすべての整数$n$に対して，$(2n-1)!<n^{2n-1}$が成り立つことを証明せよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　$k\geqq 6$のとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^k}{\displaystyle \frac{1}{n(n+5)}}$を計算せよ．

(2)　$a_1=1$と漸化式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{n-1}{n(n+1)}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　実数の定数$k\ne 0$に対し，行列$A=\left(\begin{array}{cc}k-20& 16\\ -25& k+20\end{array}\right)$とする．このとき，次の問に答えよ．$E$は$2$次の単位行列を表す．

(1)　$A$は，逆行列をもつことを示せ．

(2)　$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=u\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$を満たす$2$次の列ベクトル$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$と実数$u$を求めよ．

(3)　$2$次の正方行列$P$が逆行列をもち，$P^{-1}AP$の$(2,1)$成分が$0$になるとき，$P^{-1}AP$の$(1,1)$成分と$(2,2)$成分を求めよ．

(4)　(2)で求めた$u$を用いて，$B=A-uE$とおく．このとき，正の整数$n$に対し，$A^n=u^{n}E+n{u}^{n-1}B$となることを証明せよ．

(5)　正の整数$n$に対し，${(A^{-1})}^n=u^{-n}E-n{u}^{n-1}B$となることを証明せよ．ここで，$u$は(2)で求めた実数であり，$B$は(4)で定めた行列である．

【５】　$xyz$空間内の$xy$平面において，関数$y=\cos x$$({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi )$のグラフを$C_1$とし，関数$y=\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi )$のグラフを$C_2$とし，方程式$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の表す直線を$l_1$とし，方程式$x=\pi$の表す直線を$l_2$とする．$xy$平面内で$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれる部分を$D$で表す．

　$xyz$空間において，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【１】　$2$つの曲線$y=x^3-a^{2}x$と$y=x^2-bx$に囲まれた$2$つの図形の面積が等しくなることがあるか．なければ，ないことを証明せよ．あれば，$a$と$b$が満たす関係式を求め，そのグラフを$ab$平面上に図示せよ．

【２】　$xy$平面上の$2$点を$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(p,q)$とする．ある直線$y=a+bx$に関する$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の対称点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$がそれぞれ直線$x=1\text{，}$$y=-q$上にあるとき，次の問いに答えよ．ただし，$g\ne 0$とする．

(1)　直線$y=a+bx$の$y$切片$a$が満たす方程式を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　上の条件を満たす直線$y=a+bx$が$3$本存在するための条件を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．また，そのときの点$(p,q)$の存在範囲を図示せよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>1$のとき，$1+\log x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log x)}^2<x$を証明せよ．

(2)　(1)の不等式を利用して，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を示せ．

(3)　関数$y={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$のグラフの概形を書け．

(4)　$a\geqq 1$のとき，$S(a)={\displaystyle {\int }_1^a}{\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}\mathit{dx}$とおくとき，$\underset{a\to \infty }{\lim }S(a)$を求めよ．

【４】　図にある実験結果が関数$y=f(x)$で与えられている．関数$f(x)$の導関数は$\cdots \text{①}$で，$\mathit{\Delta x}$が$0$に近づく時の極限で求められる．このことを利用して$y=f(x)$を次のように推測して求めなさい．

(1)　$\mathit{\Delta x}$を近似的に$0.5$とみなして式$\text{①}$で表される$\mathit{\Delta y}/\mathit{\Delta x}$を図から計算してみる．この結果を$g(x)$とする．$g(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　さらに，もう一度$\mathit{\Delta x}$を近似的に$0.5$とみなして，式$\text{①}$の$f(x)$と同様に，(1)で得られた$g(x)$の図から計算し，その結果を$h(x)$とする．$h(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　$h(x)$を表す式を推測し，簡単な式で表せ．

(4)　(3)で得られた関数$h(x)$の不定積分を$z(x)$とする．(1)で得られた曲線と比べることにより，$z(x)$を式で示せ．

(5)　(4)で求めた$z(x)$をもう一度積分し，実験結果の図と比較して，実験結果を表す式を求めよ．