2007　福島大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$27\cdot 3^{x^2}={81}^x$を満たす$x$の値をすべて求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$f(x)={(\log \sqrt{1+x})}^2$とするとき，導関数$f^{\prime }(x)$を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }({\displaystyle \frac{1}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+\cos 2x)\mathit{dx}$を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　$f(x)=\sin x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2x$の最大値・最小値を求めなさい．ただし，最大値・最小値をとるときの$x$の値を求める必要はない．

【２】　漸化式

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n+a_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}\\ a_1=1\text{，}{a}_2=1\end{array}$

で定義される数列を$\{a_n\}$とする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　$\{a_n\}$の第$1$項から第$9$項までを書きなさい．

(2)　自然数$n$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$に対して

$a_1^2+a_2^2$$+\cdots$$+a_n^2$$=a_n{a}_{n+1}$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．

【３】　空間において，原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}(1,2,4)\text{，}$点$\mathrm{B}(a,b,0)$がある．点$\mathrm{B}$は$xy$平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の上を動く．

　さらに点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$におろした垂線と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標をパラメータ$t$を用いて$(t,2t,4t)$と表す．線分$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{OA}$が直交することを利用し，$t$の値を$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．

(2)　線分$\mathrm{BC}$の長さを$t$を用いて表しなさい．

(3)　$a\text{，}$$b>0$のとき，線分$\mathrm{BC}$の長さの最小値を求めなさい．

【４】　関数$y={\displaystyle \frac{2}{3}}{\left|x\right|}^{\frac{3}{2}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$のグラフ上の点$\mathrm{T}$における接線を

$y=px-q$$\text{（}p\text{，}$$q\geqq 0\text{）}$

とする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　接点$\mathrm{T}$の座標および$q$の値を$p$を用いて表しなさい．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とするとき，$y={\displaystyle \frac{2}{3}}{\left|x\right|}^{\frac{3}{2}}$のグラフ上の曲線$\mathrm{OT}$の長さ$L(p)$を$p$を用いて表しなさい．

　ただし，微分可能な関数$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,f(a))$から点$(b,f(b))$までの曲線の長さは，$f^{\prime }(x)$を$f(x)$の導関数として

${\displaystyle {\int }_a^b}\sqrt{1+{(f^{\prime }(x))}^2}\mathit{dx}$$\text{（}a<b\text{）}$

で求められる．

(3)　(2)で求めた$L(p)$を用いて，右側からの極限

$\underset{p\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{L(2p)}{L(p)}}$

の値を求めなさい．