2006　長崎県立大学　後期経済学部MathJax

【１】　次の問に答えなさい．

(1)　${\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{1-\cos 2\theta }{2}}$が成り立つことを示しなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{\angle B}=120\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{CA}$を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(3)　関数$y=({\log }_3{\displaystyle \frac{9}{x}})({\log }_3{\displaystyle \frac{x}{3}})$$\text{（}1\leqq x\leqq 9\text{）}$の最大値，最小値を求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(4)　曲線$y=|x^2-x-2|$と直線$y=x+1$によって囲まれる図形の面積を求めなさい．

【２】　次の問に答えなさい．

(1)　$3$次方程式$x^3-3x^2-x+3=0$を解きなさい．

(2)　関数$f(x)=x^3-3x^2-x+3$の極値を求め，グラフをかきなさい．

(3)　不等式$x^3-3x^2-x+3>0$を満たす$x$の範囲を求めなさい．

【３】　以下の(ⅰ)〜(ⅲ)の$3$つの$2$次方程式に対して，次の問に答えなさい．

(ⅰ)　$x^2-x-1=0$

(ⅱ)　$y^2+y-1=0$

(ⅲ)　$z^2-3z+1=0$

(1)　(ⅰ)，(ⅱ)および(ⅲ)の解をそれぞれ求めなさい．

(2)　(1)で求めた解をそれぞれ$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$の一次式で，すなわち，$a+b\alpha$$\text{（}a\text{，}$$b$は定数）の形で表しなさい．

(3)　(ⅰ)の解の逆数を解とする$2$次方程式のうち，$2$乗の項の係数が$1$であるものは(ⅱ)であることを示しなさい．

(4)　(ⅰ)の解の$2$乗を解とする$2$次方程式のうち，$2$乗の項の係数が$1$であるものを求めなさい．

【４】　以下の問題は，$X$の$2$次方程式$A{X}^2+BX+C=0$について，実数$A\text{，}$$B\text{，}$$C$の値を入力し，判別式$D=B^2-4AC$を計算して，その結果を以下の条件で表示するプログラムに関するものである．

《条件》・実数$A$が$0$のとき，プログラムは，"おわり"を表示する．

・$D<0$ならば，"実数解をもたない"，$2$つの虚数解および”おわり”を表示する．

・$D=0$ならば，"重解をもつ"，重解および"おわり"を表示する．

・$D>0$ならば，"異なる$2$つの実数解をもつ"，異なる$2$つの実数解および"おわり"を表示する．

(1)　次のフローチャートの$\text{①}\text{〜}$$\text{③}$に［語句群］から最適な語句を一つ選択し，その記号を解答欄に記入しなさい．ただし，［語句群］から同一語句を複数回選んでもよい．

(2)　上記のフローチャートに従って作成した下記のBASICプログラムの$\text{④}\text{〜}$$\text{⑩}$に［語句群］から最適な語句を一つ選択し，その記号を解答欄に記入しなさい．ただし，［語句群］から同一語句を複数回選んでもよい．

［BASICプログラム］

10 INPUT "A=" ; A

20 IF A = 0 THEN $\text{④}$

30 INPUT "B=" ; B

40 INPUT "C=" ; C

50 D=B*B−4*A*C

60 IF D<0 THEN $\text{⑤}$

70 IF D=0 THEN 160

80 PRINT $\text{⑥}$

90 PRINT "X1=" ; (−B−SQR(D))/(2*A)

100 PRINT $\text{⑦}$

110 GOTO 180

120 PRINT "実数解をもたない"

130 PRINT "X1=" ; −B/(2*A) ; "−" ; SQR(−D)/(2*A) ; "i"

140 PRINT "X2=" ; −B/(2*A) ; "+" ; SQR(−D)/(2*A) ; "i"

150 GOTO $\text{⑧}$

160 PRINT "重解をもつ"

170 PRINT $\text{⑨}$

180 PRINT "おわり"

190 $\text{⑩}$

【５】　座標空間に$4$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(1,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,1,\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{D}(x,y,z)$をとると，立体$\mathrm{ABCD}$は正四面体となる．ただし$x>0$とする．このとき次の$\text{①}\text{〜}$$\text{⑪}$に適するものを答えなさい．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおくと，点$\mathrm{G}$の座標は$\text{①}$となり，また点$\mathrm{D}$の座標を求めると$\text{②}$となる．

(2)　線分$\mathrm{DA}$を$s:1-s$$\text{（}0<s<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき$s\text{，}$$t$を用いると点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標はそれぞれ，$\text{③}\text{，}$$\text{④}$となり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=\text{⑤}$となる．よって$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$は$s=\text{⑥}\text{，}$$t=\text{⑦}$のときに最小値$\text{⑧}$をとる．

(3)　$s\text{，}$$t$を用いると，内積$\overrightarrow{\mathrm{PD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\text{⑨}\text{，}$また$\left|\overrightarrow{\mathrm{PD}}\right|=\text{⑩}$と表される．ここで$\mathrm{\angle DPQ}=\theta$とすると，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$が最小となるときの$\cos \theta$の値は$\text{⑪}$となる．

【６】　赤球$2$個と白球$4$個が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出し，球の色を確認して$2$個とも袋に戻す．この試行をくり返し行うが，同時に赤球が$2$個取り出されたら，次の試行からは取り出す球の数は$1$個だけとする．$n$回の試行後，それまでに取り出された赤球の個数の和を考える．ただし$0$は偶数として考えるものとする．

　ここで，$x_n$を$n$回目の試行で取り出す球の個数，$y_n$を$n$回までに取り出された赤球の個数の和とするとき，次の問に答えなさい．

(1)　$y_2=2$となる確率を求めなさい．

(2)　$x_n=2$となる確率を求めなさい．

(3)　$p_n$を$y_n$が偶数でかつ$x_{n+1}=2$である確率，$q_n$を$y_n$が偶数でかつ$x_{n+1}=1$である確率とするとき，$p_2\text{，}$$q_2$をそれぞれ求めなさい．

(4)　$q_n$を$p_{n-1}\text{，}$$q_{n-1}$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$を用いて表しなさい．

【７】　$\mathrm{▵ABC}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から，それぞれ直線$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{．}$$\mathrm{AB}$に下ろした$3$つの垂線は$1$点で交わる．この点を$\mathrm{H}$とする．直線$\mathrm{AH}$が辺$\mathrm{BC}$および外接円と交わる点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{F}$とし，また直線$\mathrm{BH}$が辺$\mathrm{AC}$および外接円と交わる点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{G}$とする．このとき次の問に答えなさい．

(1)　弧$\mathrm{CF}$と弧$\mathrm{CG}$の長さが等しくなることを示しなさい．

(2)　$\mathrm{▵AEG}\backsim \mathrm{▵ADC}$となることを示しなさい．

(3)　$\mathrm{AE}\cdot (\mathrm{EC}+\mathrm{DC})=\mathrm{EG}\cdot (\mathrm{AD}+\mathrm{BE})$となることを示しなさい．