2005　西南学院大学　文学部英文，外（英，仏）Ａ日程MathJax

【１】

1.　$k$を定数とする．$4$つの不等式

$x+4y\geqq k\text{，}4x+y\geqq 4\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$

を同時に満たす点$(x,y)$全体からなる領域を$D$とする．領域$D$における$x+y$の最小値は，

• $k\leqq \boxed{\text{ア}}$のとき$\boxed{\text{イ}}\text{，}$
• $\boxed{\text{ア}}<k<\boxed{\text{ウエ}}$のとき${\displaystyle \frac{k+\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$，
• $\boxed{\text{ウエ}}\leqq k$のとき${\displaystyle \frac{k}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．

【１】

2.　数列$\{a_n\}$の第$n$項が

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^{k-1}(k-1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

であるとき，初項は$\boxed{\text{ク}}$であり，第$19$項は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，初項から第$192$項までの和は$\boxed{\text{コサシ}}$である．

【２】

1.　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺の長さがそれぞれ$\mathrm{OA}=5\text{，}\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{BO}=4$であるとする．点$\mathrm{P}$は$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点である．$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$

である．また三角形$\mathrm{OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

【２】

2.　$2$次方程式$x^2-4x+5=0$の$2$つの虚数解を$\alpha \text{，}\beta$とする．また$i$を虚数単位とする．

(1)　$(y+2zi)(1+i)={\alpha }^2+{\beta }^2$を満たす実数$y\text{，}z$は$y=\boxed{\text{ニ}}\text{，}z=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

(2)　$(2+i)y+(1-i)z=5+({\alpha }^3+{\beta }^3)i$を満たす実数$y\text{，}z$は$y=\boxed{\text{ノ}}\text{，}z=\boxed{\text{ハヒ}}$である．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　$\sin 3\alpha =\sin (2\alpha +\alpha )$として，$\sin 3\alpha$を$\sin \alpha$で表せ．

(2)　$\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =x$とおくとき，

$y=2\sin 3\theta -3\cos 2\theta +3\sqrt{3}\sin 2\theta -6\sin \theta +6\sqrt{3}\cos \theta$

を$x$の式で表せ．

(3)　$0°\leqq \theta \leqq 180°$のとき，(2)における$y$の最大値と最小値を求めよ．