2005　長崎県立大学　後期経済学部MathJax

【１】　次の問に答えなさい．

(1)　不等式${(1.5)}^n>1000$を満たす整数$n$の最小値を求めなさい．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の問に答えなさい．

(2)　$\mathrm{SASEBO}$の$6$文字を$1$列に並べてできる順列は何通りあるか求めなさい．

【１】　次の問に答えなさい．

(3)　次の連立方程式を解きなさい．

$\{\begin{array}{l}|x+y|=3x\\ x-y=5\end{array}$

【１】　次の問に答えなさい．

(4)　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値を求めなさい．

【２】　放物線$C\text{：}y=-x^2+2x$と直線$l\text{：}y=ax$がある．$0<a<2$のとき，以下の問に答えなさい．

(1)　$C$と$l$の交点で原点以外の点の座標を求めなさい．

(2)　$C$と$l$によって囲まれる部分の面積を求めなさい．

(3)　$C$と$x$軸によって囲まれる部分の面積が$l$によって$2$等分されるとき，$a$の値を求めなさい．

【３】　$2$種類の製品$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を製作する企画がある．製品$\mathrm{A}$を$1\mathrm{kg}$作るためには電気$3\mathrm{kwh}$とガス$1{\mathrm{m}}^3$が必要であり，製品$\mathrm{B}$を$1\mathrm{kg}$作るためには電気$1\mathrm{kwh}$とガス$2{\mathrm{m}}^3$が必要である．しかし，電気は$10\mathrm{kwh}\text{，}$ガスは$10m^3$しか使用できない．また，製品$\mathrm{A}$を$1\mathrm{kg}$作ると$6$百万円の利益が生じ，製品$\mathrm{B}$を$1\mathrm{kg}$作ると$5$百万円の利益が生じる．製品$\mathrm{A}$を$x\mathrm{kg}\text{，}$製品$\mathrm{B}$を$y\mathrm{kg}$作ったとき，利益が$k$百万円生じたとする．以下の問に答えなさい．

(1)　$x$と$y$に関する条件式を作成しなさい．

(2)　(1)の条件式が満たす領域を図示しなさい．

(3)　$k$を，$x$と$y$を用いて表しなさい，

(4)　利益を最大とするには，製品$\mathrm{A}\text{，}$製品$\mathrm{B}$をそれぞれどれだけ作るとよいかを求めなさい．また，そのときの利益はいくらになるか求めなさい．

【４】　以下は，整数$N$を入力して，"＊”でプロットした$2$等辺三角形を作図する問題である．ただし，$N$は，$1$から$10$までの整数で，$N$が$1$の場合は，プログラムを終了する．

　以下の［$2$等辺三角形作成図例］に従って，［アルゴリズムの概要］および［BASICプログラム］の中の空欄の$\text{①}\text{〜}$$\text{⑩}$に［語句群］の中から最適なものを一つ選び，［解答欄］にその記号を記入しなさい．

［アルゴリズムの概要］

(1)　$1$から$10$までの整数$N$を入力する．

(2)　$N=1$ならば，プログラムリストの文番号$\text{①}$へ進み，“終了します”のメッセージを表示して，プログラムを終了する．

(3)　$N=2$以上ならば$1$行目を表示した後，行数$I$が$2$から$N-1$までの範囲$\text{（}2\text{〜}$$N-1$と表示）で，左から$\text{②}$桁目まで“△”（空白）を表示し，その次に“＊"を$1$個表示する．

(4)　続けて，$I$が$\text{③}$までの各行で，$2$等辺三角形の内部の空白を表示し，その行の最後に“＊”を$1$個表示する．

(5)　最後の$N$行は“＊△”を$1$組として$\text{④}$組み表示し，プログラムの先頭に戻る．

［BASICプログラム］$2$等辺三角形の作成プログラム

 10 INPUT "N=" ; N

 20 IF $\text{⑤}$ THEN GOTO 190

 30 FOR I=1 TO N−1

 40 FOR J=1 TO $\text{⑥}$

 50 PRINT "　" ;

 60 NEXT J

 70 IF I=1 THEN GOTO $\text{⑦}$

 80 PRINT "＊" ;

 90 FOR J=1 TO $\text{⑧}$

100 PRINT "　" ;

110 NEXT J

120 PRINT $\text{⑨}$

130 NEXT I

140 FOR I=1 TO N

150 PRINT $\text{⑩}$

160 NEXT I

170 PRINT

180 GOTO 10

190 PRINT "終了します"

200 END

［語句群］（注：△は，空白$1$個を意味する．）

ア．＊　　 イ．"＊"　　 ウ．＊△　　 エ．"＊△"　　 オ．N=1　　 カ．N−I　　 キ．10　　 ク．20　　 ケ．30　　 コ．40　　 サ．70　　 シ．80　　 ス．90　　 セ．100　　 ソ．110　　 タ．120　　 チ．130　　 ツ．140　　 テ．150　　 ト．160　　 ナ．170　　 ニ．180　　 ヌ．190　　 ネ．$2\text{〜}N-1$　　 ノ．I　　 ハ．J　　 ヒ．N　　 フ．N−1　　 ヘ．(I−2)*2−1　　 ホ．(I−2)*2+1

【５】　$3$次方程式$x^3-(4-i)x^2+6x-4-c^{2}i=0$は少なくとも$1$つ実数解をもつ．ただし，$c$は正の実数である．次の$\text{①}\text{〜}$$\text{⑩}$に適するものを答えなさい．

(1)　この方程式の実数解を$\alpha$とすると，$\alpha \text{，}$$c$が実数であることから$\text{①}=0\text{，}$$\text{②}=0$の条件式が得られ，$c>0$より$\alpha =\text{③}\text{，}$$c=\text{④}$となる．また方程式の残りの$2$つの解は$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$となる．

(2)　方程式の解の中で$\beta =\text{⑤}\text{，}$$\gamma =\text{⑥}$とおくと，${\displaystyle \frac{1+\gamma }{\beta }}\text{，}$${\displaystyle \frac{1+\beta }{\gamma }}$を$2$つの解とする$2$次方程式は$x^2+\text{⑦}x+\text{⑧}=0$となる．

(3)　複素数平面上で点$\mathrm{P}(z)$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\text{④}$の円周上を動くものとする．このとき点$\mathrm{A}(2\sqrt{2}i)$と点$\mathrm{P}(z)$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$2$等分する点$\mathrm{Q}(w)$が描く図形は$\text{⑨}$となる．また$\mathrm{Q}(w)$の偏角$\theta$の取りうる範囲は$\text{⑩}$である．ただし$0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}$とする．

【６】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{OA}$上の点，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{BC}$の中点，$\mathrm{R}$は辺$\mathrm{OC}$上の点，$\mathrm{S}$は辺$\mathrm{AB}$の中点とする．また三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=l\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=m\overrightarrow{c}$として，次の問に答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{K}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるとき，$l$と$m$についての関係式を求めなさい．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるとき，その交点は線分$\mathrm{OG}$上にあることを示しなさい．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．このとき四面体$\mathrm{OASQ}$と四面体$\mathrm{OPSQ}$の体積をそれぞれ$V$を用いて表しなさい．

【７】　当たり$2$本，はずれ$8$本，計$10$本のくじがあり，このくじを$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\cdots$の順で交互に$1$本ずつ引く．ただし，当たりくじを引いた人はその時点で終了し，残りの人は当たりを出すまでくじを引き続ける．また引いたくじは元には戻さないものとし，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の人がくじを引いた回数をそれぞれ$a\text{，}$$b$とおく．次の問に答えなさい．

(1)　$a+b=4$となる確率を求めなさい．

(2)　$a=3$となる確率を求めなさい．

(3)　$a=3$のとき，$a+b=5$となる条件つき確率を求めなさい．