2005　首都大学東京　後期MathJax

【１】　$2$以上の自然数$n$に対して方程式

(＊)　$x^n+2y^n=4z^n$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$n=2$のとき，(＊)を満たす自然数$x\text{，}y\text{，}z$の例を与えよ．

(2)　$n\geqq 3$のとき，(＊)を満たす自然数$x\text{，}y\text{，}z$が存在しないことを示せ．

【２】　$e$を自然対数の底とする．自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=x\log \left({\displaystyle \frac{ne}{x}}\right)\text{（}x>0\text{）}$

としたとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f_n(x)$の$x>0$での最大値を求めよ．

(2)　次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{e}{1+{\displaystyle \frac{1}{n}}}}<{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n<e$

【３】　媒介変数$t$を用いて表された曲線

$C:x=\sqrt{3}{t}^2\text{，}y=t-t^3\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)　曲線$C$の長さを求めよ．

【４】　右図のような正方形が与えられている．正方形の頂点を$n$種類の色を使って塗る塗り方を考える．ただし，平面上の回転で移りあう塗り方は同じものとみなす．また同じ色を重複して使ってもよいし使わない色があってもよいものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$n=2\text{，}3$のとき，異なる塗り方は何通りあるか．

(2)　$n\geqq 4$のとき，異なる塗り方の総数を$n$の関数として表せ．

【１】　原点を中心とする半径$1$の円$C$と座標を$(2,1)$とする点$\mathrm{A}$がある．円$C$上にない点$\mathrm{P}$から$C$に接線を引き，接点を$\mathrm{T}$とする．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{PT}=\mathrm{PA}$を満たしながら動く．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(2)　$\mathrm{PA}$が最小となる$\mathrm{P}$の座標を求めよ．またそのときの接点$\mathrm{T}$の座標を求めよ．