2004　慶応義塾大学　総合政策学部MathJax

【１】

(1)　天使はつねに真実を述べ，悪魔はつねに嘘をつく．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は悪魔か天使であることはわかっているが，どちらかはっきりしない．$\mathrm{A}$がこういった．

「わたしが天使ならば，$\mathrm{B}$も天使です．」

　この二人の正体は$\boxed{\text{(1)}}$である．

[選択肢]

• 1.　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$ともに天使
• 2.　$\mathrm{A}$は天使，$\mathrm{B}$は悪魔
• 3.　$\mathrm{A}$は悪魔，$\mathrm{B}$は天使
• 4.　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$ともに悪魔

【１】

(2)　$3$人の女神が口論している．もっとも美しい女神はただ一人であるとする．

• アテナ　「もっとも美しいのはアフロディテではない」
• アフロディテ　「もっとも美しいのはヘラではない」
• ヘラ　「わたしがもっとも美しい」

　もっとも美しい女神のみが真実を述べている．それは$\boxed{\text{(2)}}$である．

[選択肢]

• 1.　アテナ
• 2.　アフロディテ
• 3.　ヘラ

【１】

(3)　テニス部，ゴルフ部，野球部の少なくとも一つの部に属している学生の数は全部で$50$人である．そのうちテニス部とゴルフ部の少なくとも一つの部に属しているものは$38$人，ゴルフ部と野球部の少なくとも一つの部に属しているものは$42$人，野球部とテニス部の少なくとも一つの部に属しているものは$40$人である．また，テニス部員，ゴルフ部員，野球部員の数はそれぞれ$21$人，$24$人，$27$人であった．すると，すべての部に属しているものは$\boxed{\text{(3)}}$人である．

【２】

(1)　$x^2+y^2<9\text{，}{x}^2\leqq y^2$をみたす整数の組$(x,y)$は全部で$\boxed{\text{(4)}}\boxed{\text{(5)}}$個ある．

【２】

(2)　三角形$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}\text{，}\mathrm{AC}=2\text{，}\angle \mathrm{B}=45°\text{，}\angle \mathrm{C}<90°$であるとする．このとき$\mathrm{BC}=\sqrt{\boxed{\text{(6)}}}$であり$\angle \mathrm{C}=\boxed{\text{(7)}}\boxed{\text{(8)}}°$である．

【３-１】(1)　$m$人のグループが$n$部屋あるホテルに宿泊する．人も部屋もすべて区別するものとして，部屋割りの方法が何通りあるか考えよう．解答欄の$\boxed{\text{(10)}}$から$\boxed{\text{(15)}}$には選択肢から番号を選び記入しなさい．$\boxed{\text{(16)}}$から$\boxed{\text{(19)}}$には計算した数値を記入しなさい．

　空き部屋を作らない部屋割りの総数を$S(m,n)\text{（}m\geqq n\text{）}$としよう．たとえば$S(3,2)=6\text{，}S(m,m)=\boxed{\text{(10)}}$である．

　$S(m,n)$の漸化式を作る．$1$人増えて$m+1$になった場合を考えよう．$1$人がさきに部屋を選び，あとで$m$人が部屋にはいるものとする．はじめの$1$人の選び方は$\boxed{\text{(11)}}$通りある．あとの$m$人の選択はこの人がはいった部屋を選択肢に入れるかどうかで場合分けされる．したがって

$S(\boxed{\text{(12)}},n)=\boxed{\text{(13)}}(S(m,\boxed{\text{(14)}}),S(\boxed{\text{(15)}},n))$

である．

[選択肢]

• (1)　$m-1$
• (2)　$m$
• (3)　$m+1$
• (4)　$m(m-1)$
• (5)　$m!$
• (6)　$n-1$
• (7)　$n$
• (8)　$n+1$

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$部屋の旅館がある．$5$人のグループがこの旅館に宿泊している．部屋割りは旅館の主人と個別にじゃんけんをし，勝てば$\mathrm{A}$部屋，引き分ければ$\mathrm{B}$部屋，負ければ$\mathrm{C}$部屋といった具合に決められた．あなたが$6$人目の客としてこの旅館を訪れたとき，部屋が空いている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(16)}}\boxed{\text{(17)}}}{\boxed{\text{(18)}}\boxed{\text{(19)}}}}$である．

【３-２】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のふたりが，あいこを数えないで$N$回（ただし，$N$は奇数）のじゃんけんをする．$\mathrm{A}$が勝った場合には$1$を，$\mathrm{B}$が勝った場合には$0$を順に書き，それを$N$桁の$2$進数と見なす．$\mathrm{A}$が勝った回数が$\mathrm{B}$より多ければ，その$2$進数を$\mathrm{A}$の得点とし，そうでなければ得点を$0$とする．たとえば，$N=3$で，順に$\mathrm{B}$の勝ち，$\mathrm{A}$の勝ち，$\mathrm{A}$の勝ち，となったならば，記録は${011}_{(2)}$となり$\mathrm{A}$の得点は$3$点となる．つぎのプログラムとその説明は，$\mathrm{A}$の得点の期待値を求めるものである．選択肢の番号を記入しなさい．

• 100 INPUT N
• 110 S=0
• 120 FOR I = 0 TO $\boxed{\text{(20)}}\boxed{\text{(21)}}$
• 130 X=I
• 140 A=0
• 150 FOR J=1 TO N
• 160 IF $\boxed{\text{(22)}}\boxed{\text{(23)}}$ =1 THEN A = $\boxed{\text{(24)}}\boxed{\text{(25)}}$
• 170 X=INT ( $\boxed{\text{(26)}}\boxed{\text{(27)}}$ )
• 180 NEXT J
• 190 IF A > $\boxed{\text{(28)}}\boxed{\text{(29)}}$ THEN S = $\boxed{\text{(30)}}\boxed{\text{(31)}}$
• 200 NEXT I
• 210 PRINT S / $\boxed{\text{(32)}}\boxed{\text{(33)}}$

　考えられるあらゆる勝敗のパターンは，$N$桁以下の$2$進数（先頭が$0$の場合も考慮する）と$1$対$1$に対応し，等しい確率で起きる．$N$桁以下の$2$進数で表される数は$0$から$\boxed{\text{(20)}}\boxed{\text{(21)}}$までの$\boxed{\text{(32)}}\boxed{\text{(33)}}$個であるから，期待値の計算をするには，すべてのパターンについて得点の合計を計算し，$\boxed{\text{(32)}}\boxed{\text{(33)}}$で割ればよい．行番号$110$では，得点の合計を表す変数$S$の値を$0$にする．行番号$120\text{〜}200$の FOR ループで，それぞれのパターンについて得点を$S$に加えていく．行番号$130\text{〜}180$では，$2$進数の表示に現れる$1$の個数を，つぎの事実を利用して数えている．

『正数$a$を$2$で割ったときの商を$a_1\text{，}$余りを$r_0$とし，$a_1$を$2$で割ったときの商を$a_2\text{，}$余りを$r_1$とする．このような操作を商が$0$になるまで繰り返す．得られた余りからなる数列$1\cdots r_1{r}_0$は$a$に対応する$2$進数である．』

[選択肢]

• (01)　2*N
• (02)　2*N-1
• (03)　2^N
• (04)　2^N-1
• (05)　A+1
• (06)　N+1
• (07)　S+1
• (08)　A+I
• (09)　N+I
• (10)　S+I
• (11)　N/2
• (12)　S/2
• (13)　X/2
• (14)　X MOD 2
• (15)　S MODE 2

【４】　$n$を自然数とする．$(x_1,x_2\cdots ,x_n)$が$(1,2,\cdots ,n)$の順列全体を動くとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{x}_k$の最小値は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(34)}}}}(n^3+\boxed{\text{(35)}}{n}^2+\boxed{\text{(36)}}n+\boxed{\text{(37)}})$

であり，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{x}_k$の最大値は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(38)}}}}(\boxed{\text{(39)}}{n}^3+\boxed{\text{(40)}}{n}^2+\boxed{\text{(41)}}n)$

である．また，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(x_k-k)}^2$の最大値は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{(42)}}}}(n^3+\boxed{\text{(43)}}{n}^2+\boxed{\text{(44)}}\boxed{\text{(45)}}n+\boxed{\text{(46)}})$

である．ただし，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=a_1+a_2+\cdots +a_n$

である．

【５】　$0<\alpha <90$で$\cos \alpha °={\displaystyle \frac{1}{3}}$をみたす数$\alpha$が無理数であることを証明しよう．

　自然数$n$に対して

$\cos (n+1)\alpha °+\cos (n-1)\alpha °={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(47)}}}{\boxed{\text{(48)}}}}\cos n\alpha °$

が成り立つ．いま

$a_n={\boxed{\text{(49)}}}^n\cos n\alpha °$

とおけば，

$a_{n+1}=\boxed{\text{(50)}}{a}_n-\boxed{\text{(51)}}{a}_{n-1}$

であるから，もし，$a_n\text{，}{a}_{n-1}$が整数で，$3$で割り切れなければ$a_{n+1}$も$3$で割り切れない整数である．$a_1=1\text{，}{a}_2=\boxed{\text{(52)}}\boxed{\text{(53)}}$より，すべての$n$に対して$a_n$が$3$で割り切れない整数であることがわかる．

　さて，$\alpha$が有理数であると仮定しよう．すると，ある自然数$n$で$n\alpha$は$90$の倍数となり，$\cos n\alpha °$は整数となる．これは矛盾である．よって，$\alpha$が無理数であることが証明された．